Dérivation, intégration et équations différentielles
Outils mathématiques pour la physique
Dérivation, intégration et équations différentielles
Dérivation en physique
Taux de variation et dérivée
La dérivée d'une grandeur $f(t)$ par rapport au temps représente sa vitesse de variation instantanée :
$$f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$$
Liens avec la cinématique
- Position $x(t)$ → vitesse : $v(t) = \frac{dx}{dt}$
- Vitesse $v(t)$ → accélération : $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$
Dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $t^n$ | $n \cdot t^{n-1}$ |
| $e^{kt}$ | $k \cdot e^{kt}$ |
| $\sin(\omega t)$ | $\omega \cos(\omega t)$ |
| $\cos(\omega t)$ | $-\omega \sin(\omega t)$ |
Intégration (primitive)
L'opération inverse de la dérivation. Si $F'(t) = f(t)$, alors $F$ est une primitive de $f$.
$$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$
Lien physique
Si $v(t)$ est la vitesse, alors le déplacement entre $t_1$ et $t_2$ est :
$$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$
Graphiquement, c'est l'aire sous la courbe $v(t)$.
Équations différentielles
Définition
Une équation différentielle (ED) est une équation reliant une fonction inconnue et ses dérivées.
ED du premier ordre
Forme : $\frac{dy}{dt} + \frac{1}{\tau} y = A$
Solution générale : $y(t) = A\tau + (y_0 - A\tau) e^{-t/\tau}$
$\tau$ est la constante de temps : elle caractérise la rapidité d'évolution du système.
Résolution graphique
À partir d'un graphe, on peut :
- Identifier le régime permanent (valeur asymptotique)
- Mesurer $\tau$ par la méthode de la tangente à l'origine
- Vérifier que $y(\tau) \approx 63\%$ de la valeur finale