Dérivation, intégration et équations différentielles
Outils mathématiques pour la physique
Dérivation, intégration et équations différentielles
Dérivation en physique
Taux de variation et dérivée
La dérivée d'une grandeur $f(t)$ par rapport au temps représente sa vitesse de variation instantanée :
$$f'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$$
Liens avec la cinématique
- Position $x(t)$ → vitesse : $v(t) = \frac{dx}{dt}$
- Vitesse $v(t)$ → accélération : $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$
Dérivées usuelles
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $t^n$ | $n \cdot t^{n-1}$ |
| $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$0 | $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$1 |
| $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$2 | $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$3 |
| $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$4 | $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$5 |
Intégration (primitive)
L'opération inverse de la dérivation. Si $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$6, alors $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$7 est une primitive de $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$8.
$$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$
Lien physique
Si $$\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$$9 est la vitesse, alors le déplacement entre $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$0 et $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$1 est :
$$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$
Graphiquement, c'est l'aire sous la courbe $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$2.
Équations différentielles
Définition
Une équation différentielle (ED) est une équation reliant une fonction inconnue et ses dérivées.
ED du premier ordre
Forme : $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$3
Solution générale : $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$4
$$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$5 est la constante de temps : elle caractérise la rapidité d'évolution du système.
Résolution graphique
À partir d'un graphe, on peut :
- Identifier le régime permanent (valeur asymptotique)
- Mesurer $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$6 par la méthode de la tangente à l'origine
- Vérifier que $$\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$$7 de la valeur finale