Analyse dimensionnelle et ordres de grandeur
Outils mathématiques pour la physique
Analyse dimensionnelle et ordres de grandeur
Les grandeurs fondamentales du SI
Le Système International repose sur sept grandeurs de base :
| Grandeur | Unité | Symbole |
|---|---|---|
| Longueur | mètre | m |
| Masse | kilogramme | kg |
| Temps | seconde | s |
| Intensité électrique | ampère | A |
| Température | kelvin | K |
| Quantité de matière | mole | mol |
| Intensité lumineuse | candela | cd |
Toute grandeur physique dérivée s'exprime comme un produit de puissances de ces grandeurs fondamentales.
Analyse dimensionnelle
Principe d'homogénéité
Une équation physique doit être dimensionnellement homogène : les deux membres ont la même dimension.
On note la dimension d'une grandeur entre crochets : $[v] = \text{L} \cdot \text{T}^{-1}$.
Vérification d'une formule
Pour vérifier $E = \frac{1}{2}mv^2$ :
$$[E] = \text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}$$
$$\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = \text{M} \cdot (\text{L} \cdot \text{T}^{-1})^2 = \text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}$$
Les dimensions sont identiques : la formule est homogène.
Utilité
- Détecter une erreur dans un calcul
- Retrouver une formule oubliée
- Estimer l'expression d'une grandeur inconnue
Ordres de grandeur
Puissances de 10
Un ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche de la valeur considérée.
| Objet | Taille | Ordre de grandeur |
|---|---|---|
| Noyau atomique | $10^{-15}$ m | $10^{-15}$ m |
| Atome | $10^{-10}$ m | $10^{-10}$ m |
| Cellule | $10^{-5}$ m | $10^{-5}$ m |
| Terre (diamètre) | $1{,}3 \times 10^{7}$ m | $10^{7}$ m |
| Soleil–Terre | $1{,}5 \times 10^{11}$ m | $10^{11}$ m |
Comparer deux grandeurs
Deux grandeurs sont du même ordre de grandeur si leur rapport est compris entre 0,1 et 10.
Estimer un ordre de grandeur permet de vérifier la cohérence d'un résultat numérique.