Énergie mécanique d'un satellite

Introduction

Dans la leçon précédente, nous avons décrit le mouvement des satellites par la cinématique et les lois de Kepler. Nous allons maintenant adopter une approche énergétique. L'énergie mécanique permet de comprendre pourquoi un satellite reste en orbite, comment on peut changer d'orbite, et quelle vitesse est nécessaire pour quitter définitivement l'attraction d'un astre.

Cette approche est complémentaire de l'approche dynamique : là où les forces et l'accélération décrivent le « comment », l'énergie décrit le « pourquoi » et le « combien ».

---

Énergie potentielle gravitationnelle

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un objet de masse $m$ situé à la distance $r$ du centre d'un astre de masse $M$ est :

$$ E_p = -G\frac{Mm}{r} $$

Points essentiels :
- La référence est choisie à l'infini : $E_p(r \to \infty) = 0$
- $E_p$ est toujours négative : il faut fournir de l'énergie pour éloigner l'objet de l'astre
- Plus l'objet est proche de l'astre, plus $E_p$ est négative (plus il est « lié »)

Exemple : pour un satellite de 1 000 kg en orbite à $r = 6{,}771 \times 10^6$ m (altitude 400 km) autour de la Terre :

$$ E_p = -6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 1\,000}{6{,}771 \times 10^6} \approx -5{,}89 \times 10^{10} \text{ J} $$

soit environ $-58{,}9$ GJ. Le signe négatif confirme que le satellite est lié à la Terre.

---

Énergie cinétique en orbite circulaire

L'énergie cinétique d'un satellite de masse $m$ animé de la vitesse $v$ est :

$$ E_c = \frac{1}{2}mv^2 $$

Pour une orbite circulaire, on a montré que $v = \sqrt{GM/r}$, donc :

$$ E_c = \frac{1}{2}m \cdot \frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r} $$

Relation fondamentale : en orbite circulaire, l'énergie cinétique est toujours égale à la moitié de la valeur absolue de l'énergie potentielle :

$$ E_c = -\frac{1}{2}E_p = \frac{GMm}{2r} $$

Cette relation porte le nom de théorème du viriel appliqué à la gravitation.

---

Énergie mécanique

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :

$$ E_m = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} $$

Résultat fondamental : l'énergie mécanique d'un satellite en orbite circulaire est négative. Cela signifie que le satellite est lié à l'astre central. Pour le libérer, il faudrait lui fournir une énergie au moins égale à $|E_m|$.

Exemple — ISS : masse $m = 420\,000$ kg, altitude $h = 408$ km, donc $r = R_T + h = 6{,}779 \times 10^6$ m :

$$ E_m = -\frac{6{,}674 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \times 420\,000}{2 \times 6{,}779 \times 10^6} \approx -1{,}23 \times 10^{13} \text{ J} $$

soit environ $-12{,}3$ TJ. Cette énergie donne une idée de l'effort nécessaire pour mettre l'ISS en orbite.

---

Conservation de l'énergie mécanique

Lorsqu'un objet est soumis uniquement à la force gravitationnelle (pas de frottements, pas de poussée), son énergie mécanique se conserve :

$$ E_m = E_c + E_p = \text{constante} $$

Application — Chute libre : un objet lâché sans vitesse initiale depuis une altitude $h$ voit son énergie potentielle diminuer et son énergie cinétique augmenter, leur somme restant constante.

Si l'objet part du repos à la distance $r_1$ du centre de la Terre et atteint la distance $r_2$ :

$$ \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GMm}{r_2} = 0 - \frac{GMm}{r_1} $$

On en déduit la vitesse à la distance $r_2$ :

$$ v_2 = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)} $$

---

Vitesse de libération

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un objet à la surface d'un astre pour qu'il s'en échappe définitivement (qu'il parte à l'infini avec une vitesse nulle).

Condition : $E_m \geq 0$, soit $E_c + E_p \geq 0$ :

$$ \frac{1}{2}mv_{lib}^2 - \frac{GMm}{R} \geq 0 $$

$$ v_{lib} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} $$

Application numérique — Terre :

$$ v_{lib} = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}674 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{6{,}371 \times 10^6}} \approx 11{,}2 \text{ km/s} $$

Cette vitesse est environ $\sqrt{2}$ fois la vitesse orbitale à la surface : $v_{lib} = \sqrt{2} \cdot v_{orb}$.

---

Transfert d'orbite — Manœuvre de Hohmann

Pour passer d'une orbite circulaire basse à une orbite circulaire haute (par exemple, d'une orbite de parking à une orbite géostationnaire), on utilise une orbite de transfert elliptique dite de Hohmann.

Principe (qualitatif) :
1. Sur l'orbite basse, le satellite effectue une première impulsion (augmentation de vitesse) pour entrer sur l'ellipse de transfert
2. Le satellite parcourt la demi-ellipse jusqu'à atteindre le rayon de l'orbite haute
3. Une seconde impulsion circularise l'orbite à la nouvelle altitude

Cette manœuvre est la plus économique en carburant pour un transfert entre deux orbites circulaires coplanaires. Elle est utilisée pour la mise en orbite géostationnaire des satellites de télécommunications.

---

Satellites artificiels : LEO, MEO, GEO

Type	Altitude	Période	Utilisation
LEO (Low Earth Orbit)	200 – 2 000 km	90 min – 2 h	ISS, observation terrestre, Starlink
MEO (Medium Earth Orbit)	2 000 – 35 786 km	2 h – 24 h	GPS (20 200 km), Galileo
GEO (Geostationary Earth Orbit)	35 786 km	24 h	Télécommunications, météo

Les satellites LEO sont les moins coûteux à placer en orbite mais couvrent une zone limitée. Les satellites GEO couvrent un tiers de la surface terrestre mais nécessitent une énergie de mise en orbite bien plus importante.

---

À retenir

Grandeur	Formule
Énergie potentielle	$E_p = -GMm/r$
Énergie cinétique (orbite circulaire)	$E_c = GMm/(2r)$
Énergie mécanique (orbite circulaire)	$E_m = -GMm/(2r)$
Relation $E_c$ / $E_p$	$E_c = -E_p/2$
Vitesse de libération	$v_{lib} = \sqrt{2GM/R}$
Vitesse de libération terrestre	$v_{lib} \approx 11{,}2$ km/s