Mouvement d'un projectile dans un champ de pesanteur

Hypothèses

• Champ de pesanteur uniforme : $\vec{g}$ constant (valable près de la surface terrestre).
• On néglige les frottements de l'air.
• Le projectile est lancé avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ faisant un angle $\alpha$ avec l'horizontale.

Application de la 2ème loi de Newton

Le système étudié est le projectile de masse $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$0, soumis uniquement à son poids $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$1.

$$m\vec{a} = m\vec{g} \implies \vec{a} = \vec{g}$$

L'accélération est constante, verticale et dirigée vers le bas.

Équations horaires

Avec un repère $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$2 où $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$3 est le point de lancement, $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$4 horizontal et $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$5 vertical ascendant :

Accélération

$$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$

Vitesse

$$v_x(t) = v_0 \cos\alpha \qquad v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$$

Position

$$x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t \qquad y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

Équation de la trajectoire

En éliminant $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$6 entre $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$7 et $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$8 :

$$y = \tan\alpha \cdot x - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha} \cdot x^2$$

C'est l'équation d'une parabole dont la concavité est tournée vers le bas.

Portée et flèche

Flèche (hauteur maximale)

Au sommet de la trajectoire, $$a_x = 0 \qquad a_y = -g$$9 :

$$t_{\text{sommet}} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g} \qquad h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$$

Portée (distance horizontale)

Quand $$v_x(t) = v_0 \cos\alpha \qquad v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$$0 (retour au sol, $$v_x(t) = v_0 \cos\alpha \qquad v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$$1) :

$$P = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$

La portée est maximale pour $$v_x(t) = v_0 \cos\alpha \qquad v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$$2.