Propagation des incertitudes et validation
Mesures et incertitudes
Propagation des incertitudes et validation
Introduction
Lorsqu'on détermine une grandeur à partir de plusieurs grandeurs mesurées, les incertitudes de chacune se combinent pour produire l'incertitude sur le résultat final. Comprendre comment les incertitudes se propagent à travers les opérations mathématiques est essentiel pour estimer correctement la précision d'un résultat calculé. Ce chapitre aborde les formules de propagation, la méthode de Monte-Carlo et la validation des mesures par l'écart normalisé.
Propagation des incertitudes
Cas d'une somme ou différence
Si une grandeur $y$ dépend de deux grandeurs indépendantes $a$ et $b$ par une relation additive $y = a + b$ (ou $y = a - b$), l'incertitude-type composée est :
$$u(y) = \sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}$$
Les incertitudes s'ajoutent de façon quadratique, et non arithmétiquement. Cela signifie que l'incertitude résultante est toujours inférieure à la somme des incertitudes individuelles. La formule est identique pour une somme et une différence.
Exemple : on mesure deux longueurs $L_1 = (12{,}5 \pm 0{,}2)$ cm et $L_2 = (8{,}3 \pm 0{,}1)$ cm. La longueur totale est $L = L_1 + L_2 = 20{,}8$ cm avec $u(L) = \sqrt{0{,}2^2 + 0{,}1^2} = \sqrt{0{,}05} \approx 0{,}22$ cm. On écrit $L = (20{,}8 \pm 0{,}2)$ cm (arrondi).
Cas d'un produit ou quotient
Pour $y = a \times b$ ou $y = a / b$, la propagation s'exprime en termes d'incertitudes relatives :
$$\frac{u(y)}{|y|} = \sqrt{\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\frac{u(b)}{b}\right)^2}$$
Ce sont les incertitudes relatives qui s'ajoutent quadratiquement. La grandeur ayant la plus grande incertitude relative domine le résultat.
Exemple : on mesure $d = (2{,}50 \pm 0{,}05)$ m et $t = (1{,}20 \pm 0{,}03)$ s. La vitesse $v = d/t = 2{,}083$ m/s. L'incertitude relative : $\frac{u(v)}{v} = \sqrt{\left(\frac{0{,}05}{2{,}50}\right)^2 + \left(\frac{0{,}03}{1{,}20}\right)^2} = \sqrt{0{,}0004 + 0{,}000625} \approx 0{,}032$, soit $u(v) = 0{,}032 \times 2{,}083 \approx 0{,}067$ m/s. On retient $U(v) \approx 0{,}13$ m/s ($k = 2$), d'où $v = (2{,}08 \pm 0{,}13)$ m/s.
Cas d'une puissance
Si $y = a^n$, l'incertitude se propage selon :
$$u(y) = |n| \cdot a^{n-1} \cdot u(a)$$
ou, de manière équivalente :
$$\frac{u(y)}{|y|} = |n| \cdot \frac{u(a)}{a}$$
L'exposant multiplie l'incertitude relative. Si $y = a^2$, l'incertitude relative sur $y$ est le double de celle sur $a$.
Exemple : si $r = (5{,}0 \pm 0{,}1)$ cm, alors l'aire du disque $A = \pi r^2 = \pi \times 25 = 78{,}5$ cm². L'incertitude relative sur $A$ est $2 \times \frac{0{,}1}{5{,}0} = 0{,}04 = 4$ %, soit $u(A) = 0{,}04 \times 78{,}5 \approx 3{,}1$ cm².
Méthode de Monte-Carlo
Principe
La méthode de Monte-Carlo est une approche numérique de la propagation des incertitudes. Au lieu d'utiliser les formules analytiques précédentes, on simule un grand nombre de mesures en tirant aléatoirement les valeurs de chaque grandeur d'entrée dans leur intervalle d'incertitude.
Démarche
- On définit la relation mathématique $y = f(a, b, \ldots)$.
- Pour chaque grandeur d'entrée ($a$, $b$, etc.), on tire aléatoirement $N$ valeurs (typiquement $N = 10\\ 000$) suivant une distribution appropriée (gaussienne, rectangulaire, etc.) centrée sur la valeur mesurée et d'écart-type $u$.
- On calcule $N$ valeurs de $y$.
- L'incertitude-type sur $y$ est l'écart-type des $N$ valeurs obtenues.
Avantages
Cette méthode est particulièrement utile lorsque la relation $f$ est complexe (non linéaire, avec des fonctions trigonométriques, logarithmiques, etc.) ou lorsque les formules de propagation analytique deviennent difficiles à appliquer. Elle est facilement programmable (Python, tableur) et fournit en plus la distribution complète du résultat. Au lycée, on peut la mettre en œuvre avec quelques lignes de Python.
Comparaison avec une valeur de référence
Écart normalisé
Pour déterminer si un résultat expérimental est compatible avec une valeur de référence (valeur tabulée, valeur théorique), on calcule l'écart normalisé $E_n$ :
$$E_n = \frac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{ref}}|}{\sqrt{u(x_{\text{mes}})^2 + u(x_{\text{ref}})^2}}$$
Si $u(x_{\text{ref}})$ est négligeable devant $u(x_{\text{mes}})$, la formule se simplifie en :
$$E_n = \frac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{ref}}|}{u(x_{\text{mes}})}$$
Critère de validation
- Si $|E_n| < 2$ : la valeur mesurée est compatible avec la valeur de référence au niveau de confiance de 95 %. L'écart observé s'explique par les incertitudes de mesure.
- Si $|E_n| \geq 2$ : il y a un écart significatif — il faut rechercher une erreur systématique, revoir le protocole ou le modèle.
Exemple : on mesure $g = (9{,}72 \pm 0{,}15)$ m·s⁻² et la valeur de référence est $g_{\text{ref}} = 9{,}81$ m·s⁻². L'écart normalisé est $E_n = \frac{|9{,}72 - 9{,}81|}{0{,}15} = \frac{0{,}09}{0{,}15} = 0{,}6$. Comme $0{,}6 < 2$, la mesure est compatible avec la valeur de référence.
Régression linéaire
Droite des moindres carrés
Lorsqu'on dispose de $n$ couples de mesures $(x_i, y_i)$ et qu'on suspecte une relation linéaire $y = ax + b$, on utilise la méthode des moindres carrés pour déterminer les paramètres $a$ (pente) et $b$ (ordonnée à l'origine). Cette méthode minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs mesurées et les valeurs prédites par le modèle :
$$S = \sum_{i=1}^{n} (y_i - a x_i - b)^2$$
La minimisation de $S$ conduit à un système de deux équations à deux inconnues, résolu analytiquement ou numériquement (tableur, calculatrice, Python).
Coefficient de détermination $R^2$
Le coefficient de détermination $R^2$ quantifie la qualité de l'ajustement linéaire :
$$R^2 = 1 - \frac{\sum (y_i - a x_i - b)^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}$$
- $R^2 = 1$ : ajustement parfait (tous les points sont exactement sur la droite).
- $R^2$ proche de 1 (par exemple $R^2 > 0{,}99$) : relation linéaire très bien vérifiée.
- $R^2$ faible : le modèle linéaire n'est pas adapté aux données.
En terminale, un $R^2 \geq 0{,}99$ est généralement considéré comme preuve d'une bonne linéarité. Les valeurs inférieures imposent de questionner le modèle.
Exemples numériques
Propagation d'incertitude sur $v = d / t$
On mesure une distance $d = (1{,}50 \pm 0{,}02)$ m et un temps $t = (0{,}80 \pm 0{,}02)$ s.
Vitesse : $v = \frac{d}{t} = \frac{1{,}50}{0{,}80} = 1{,}875$ m/s.
Incertitude relative : $\frac{u(v)}{v} = \sqrt{\left(\frac{0{,}02}{1{,}50}\right)^2 + \left(\frac{0{,}02}{0{,}80}\right)^2} = \sqrt{(0{,}0133)^2 + (0{,}025)^2} = \sqrt{0{,}000177 + 0{,}000625} \approx 0{,}0283$.
Incertitude-type : $u(v) = 0{,}0283 \times 1{,}875 \approx 0{,}053$ m/s.
Incertitude élargie ($k = 2$) : $U(v) \approx 0{,}11$ m/s.
Résultat : $v = (1{,}88 \pm 0{,}11)$ m/s.
On note que l'incertitude sur le temps (incertitude relative de 2,5 %) domine celle sur la distance (1,3 %). Pour améliorer la mesure de la vitesse, il faudrait en priorité réduire l'incertitude sur le temps.
Validation d'un résultat
On mesure l'accélération de la pesanteur par un pendule simple : $g_{\text{mes}} = (9{,}76 \pm 0{,}12)$ m·s⁻². La valeur de référence locale est $g_{\text{ref}} = 9{,}81$ m·s⁻².
Écart normalisé : $E_n = \frac{|9{,}76 - 9{,}81|}{0{,}12} = \frac{0{,}05}{0{,}12} \approx 0{,}42$.
Puisque $|E_n| = 0{,}42 < 2$, la mesure est compatible avec la valeur de référence. L'écart observé de 0,05 m·s⁻² est couvert par les incertitudes expérimentales.
À retenir
- Somme/différence : $u(a \pm b) = \sqrt{u(a)^2 + u(b)^2}$ — les incertitudes absolues se composent quadratiquement.
- Produit/quotient : $\frac{u(ab)}{ab} = \sqrt{\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\frac{u(b)}{b}\right)^2}$ — les incertitudes relatives se composent quadratiquement.
- Puissance : $\frac{u(a^n)}{a^n} = |n| \cdot \frac{u(a)}{a}$ — l'exposant multiplie l'incertitude relative.
- Monte-Carlo : méthode numérique — simulation de $N$ valeurs aléatoires, utile pour les relations complexes.
- Écart normalisé : $E_n = \frac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{ref}}|}{u(x)}$ ; si $|E_n| < 2$ → mesure compatible (95 %).
- Régression linéaire : droite des moindres carrés, qualité évaluée par $R^2$ (proche de 1 → bon modèle).