Équation différentielle du circuit RC

Établissement de l'équation différentielle

Circuit RC en charge

Considérons un circuit série avec un générateur $E$, une résistance $R$ et un condensateur $C$.

La loi des mailles donne :

$$E = u_R + u_C = Ri + u_C$$

Or $i = C\frac{du_C}{dt}$, donc :

$$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$

Soit l'équation différentielle du premier ordre :

$$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$

ou encore, avec $\tau = RC$ :

$$\tau\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$

Résolution mathématique

Solution générale

L'ED est linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant. Sa solution est :

$$u_C(t) = A e^{-t/\tau} + B$$

Conditions aux limites (charge)

• Régime permanent ($t \to \infty$) : $\frac{du_C}{dt} = 0 \implies u_C = E$, donc $B = E$
• Condition initiale ($t = 0$) : condensateur déchargé, $u_C(0) = 0$, donc $A + E = 0 \implies A = -E$

Finalement :

$$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Conditions aux limites (décharge)

L'ED devient $\tau\frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ (pas de générateur).

• $B = 0$ (tension nulle en régime permanent)
• $u_C(0) = E$ : $A = E$

$$u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$$

Régime transitoire et régime permanent

Régime transitoire

Période pendant laquelle les grandeurs évoluent vers leur valeur finale. Dure environ $5\tau$.

Régime permanent

État final atteint quand les grandeurs ne varient plus :
- Charge : $u_C = E$, $i = 0$ (le condensateur est complètement chargé, il bloque le courant continu)
- Décharge : $u_C = 0$, $i = 0$

Bilan énergétique

Pendant la charge complète du condensateur :
- Énergie fournie par le générateur : $W_g = CE^2$
- Énergie stockée dans le condensateur : $E_C = \frac{1}{2}CE^2$
- Énergie dissipée par effet Joule dans $R$ : $W_R = \frac{1}{2}CE^2$

Exactement la moitié de l'énergie fournie est dissipée dans la résistance, quelle que soit la valeur de $R$.