Équation différentielle du circuit RC

Établissement de l'équation différentielle

Circuit RC en charge

Considérons un circuit série avec un générateur $E$, une résistance $R$ et un condensateur $C$.

La loi des mailles donne :

$$E = u_R + u_C = Ri + u_C$$

Or $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$0, donc :

$$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$

Soit l'équation différentielle du premier ordre :

$$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$

ou encore, avec $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$1 :

$$\tau\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$

Résolution mathématique

Solution générale

L'ED est linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant. Sa solution est :

$$u_C(t) = A e^{-t/\tau} + B$$

Conditions aux limites (charge)

• Régime permanent ($$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$2) : $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$3, donc $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$4
• Condition initiale ($$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$5) : condensateur déchargé, $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$6, donc $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$7

Finalement :

$$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Conditions aux limites (décharge)

L'ED devient $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$8 (pas de générateur).

• $$E = RC\frac{du_C}{dt} + u_C$$9 (tension nulle en régime permanent)
• $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$0 : $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$1

$$u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$$

Régime transitoire et régime permanent

Régime transitoire

Période pendant laquelle les grandeurs évoluent vers leur valeur finale. Dure environ $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$2.

Régime permanent

État final atteint quand les grandeurs ne varient plus :
- Charge : $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$3, $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$4 (le condensateur est complètement chargé, il bloque le courant continu)
- Décharge : $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$5, $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$6

Bilan énergétique

Pendant la charge complète du condensateur :
- Énergie fournie par le générateur : $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$7
- Énergie stockée dans le condensateur : $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$8
- Énergie dissipée par effet Joule dans $$RC\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$9 : $$\tau\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$0

Exactement la moitié de l'énergie fournie est dissipée dans la résistance, quelle que soit la valeur de $$\tau\frac{du_C}{dt} + u_C = E$$1.