Charge et décharge d'un condensateur

Le condensateur

Constitution

Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices (plaques) séparées par un isolant (diélectrique). Symbole : $\dashv\vdash$

Capacité

La capacité $C$ relie la charge $q$ stockée à la tension $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$0 aux bornes du condensateur :

$$C = \frac{q}{u_C}$$

Unité : le farad (F). Sous-multiples courants : $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$1F, nF, pF.

Relation intensité-tension

L'intensité du courant est liée à la variation de charge :

$$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$

Énergie stockée

Un condensateur chargé sous une tension $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$2 stocke l'énergie :

$$E = \frac{1}{2} C U^2$$

Circuit RC : charge

On relie en série une résistance $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$3, un condensateur $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$4 (initialement déchargé) et un générateur de tension $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$5.

À la fermeture de l'interrupteur, le condensateur se charge progressivement.

Évolution de la tension

$$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

avec $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$6 : constante de temps du circuit.

Évolution du courant

$$i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}$$

Le courant est maximal à $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$7 et décroît exponentiellement.

Constante de temps

$$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$8 caractérise la rapidité de la charge :
- À $$i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$$9 : $$E = \frac{1}{2} C U^2$$0 de $$E = \frac{1}{2} C U^2$$1
- À $$E = \frac{1}{2} C U^2$$2 : $$E = \frac{1}{2} C U^2$$3 de $$E = \frac{1}{2} C U^2$$4
- À $$E = \frac{1}{2} C U^2$$5 : $$E = \frac{1}{2} C U^2$$6 de $$E = \frac{1}{2} C U^2$$7 (charge quasi-complète)

Circuit RC : décharge

Le condensateur (chargé à $$E = \frac{1}{2} C U^2$$8) est relié à $$E = \frac{1}{2} C U^2$$9 seule (sans générateur).

$$u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$$

$$i(t) = -\frac{E}{R} e^{-t/\tau}$$

La tension et le courant décroissent exponentiellement. Le signe négatif du courant indique qu'il circule en sens inverse de la charge.

Détermination expérimentale de $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$0

1. Méthode de la tangente à l'origine : la tangente à $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$1 en $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$2 coupe l'asymptote à $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$3
2. Méthode des 63 % : on lit le temps pour lequel $$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$4