Réfraction, lentilles et formation d'images
Optique et lumière
Réfraction, lentilles et formation d'images
Introduction
La lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène et transparent. Mais que se passe-t-il lorsqu'elle change de milieu — par exemple de l'air au verre ou à l'eau ? Elle subit un phénomène de réfraction qui modifie sa direction. C'est ce phénomène qui permet le fonctionnement des lentilles, des lunettes, des appareils photo et de notre œil lui-même.
Propagation rectiligne de la lumière
Principe
Dans un milieu homogène, transparent et isotrope, la lumière se propage en ligne droite. On modélise le trajet de la lumière par un rayon lumineux : une droite orientée dans le sens de propagation.
La vitesse de la lumière
La vitesse de la lumière dans le vide est une constante universelle :
$$c = 3{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}$$
Dans un milieu matériel transparent (eau, verre…), la lumière se propage à une vitesse $$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$4.
L'indice de réfraction
L'indice de réfraction $$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$5 d'un milieu transparent caractérise le « ralentissement » de la lumière dans ce milieu :
$$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$
avec :
- $$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$6 sans unité (toujours $$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$7)
- $$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$8 m/s
- $$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$9 la vitesse de la lumière dans le milieu (m/s)
| Milieu | Indice $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$0 |
|---|---|
| Vide | 1,000 |
| Air | 1,000 (≈ 1) |
| Eau | 1,33 |
| Verre courant | 1,50 |
| Diamant | 2,42 |
Plus $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$1 est grand, plus la lumière est « ralentie » dans le milieu, et plus le milieu est dit réfringent.
La réflexion
Principe
Lorsqu'un rayon lumineux rencontre une surface réfléchissante (miroir), il est renvoyé dans le même milieu.
Loi de la réflexion
Le rayon réfléchi est tel que :
$$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$
- L'angle d'incidence $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$2 est l'angle entre le rayon incident et la normale (perpendiculaire à la surface au point d'incidence).
- L'angle de réflexion $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$3 est l'angle entre le rayon réfléchi et la normale.
- Le rayon incident, la normale et le rayon réfléchi sont dans le même plan (plan d'incidence).
La réfraction
Principe
Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un milieu transparent d'indice $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$4 à un milieu d'indice $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$5 différent, il subit un changement de direction à la surface de séparation : c'est la réfraction.
Lois de Snell-Descartes pour la réfraction
1ère loi : le rayon réfracté est dans le plan d'incidence (plan contenant le rayon incident et la normale).
2ème loi (loi de Snell-Descartes) :
$$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$
avec :
- $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$6 l'angle d'incidence
- $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$7 l'angle de réfraction
- $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$8 l'indice du milieu incident
- $$\boxed{\hat{i}_r = \hat{i}_1}$$9 l'indice du milieu réfracté
Cas de figure
- Si $$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$0 (passage vers un milieu plus réfringent, ex : air → verre) : le rayon se rapproche de la normale ($$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$1).
- Si $$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$2 (passage vers un milieu moins réfringent, ex : verre → air) : le rayon s'éloigne de la normale ($$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$3).
La réflexion totale
Lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent ($$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$4), il existe un angle limite $$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$5 au-delà duquel toute la lumière est réfléchie : c'est la réflexion totale interne.
$$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$
Application cruciale : la réflexion totale est le principe de fonctionnement de la fibre optique, qui permet la transmission de données à très haut débit sur de longues distances.
Exercice résolu
Un rayon lumineux passe de l'air ($$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$6) au verre ($$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$7) avec un angle d'incidence $$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$8. Calculer l'angle de réfraction.
Solution :
$$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$
$$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$
$$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$
Le rayon se rapproche de la normale : $$\boxed{n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)}$$9 ✓
La dispersion de la lumière
Origine
L'indice de réfraction d'un milieu dépend de la longueur d'onde de la lumière :
$$n = n(\lambda)$$
Les courtes longueurs d'onde (violet) ont un indice plus élevé que les grandes (rouge). Par conséquent, elles sont plus déviées lors de la réfraction.
Conséquence
Lorsque la lumière blanche traverse un prisme, chaque radiation est déviée différemment → le faisceau est décomposé en ses couleurs constitutives. C'est le phénomène de dispersion.
Dans la nature : l'arc-en-ciel résulte de la dispersion de la lumière solaire par les gouttes d'eau (réfraction + réflexion totale interne + réfraction).
Les lentilles minces convergentes
Définition
Une lentille mince convergente est un bloc de verre (ou plastique) transparent, plus épais au centre qu'aux bords, qui fait converger les rayons lumineux qui la traversent.
Éléments caractéristiques
| Élément | Notation | Définition |
|---|---|---|
| Centre optique | $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$0 | Centre de la lentille ; un rayon passant par $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$1 n'est pas dévié |
| Axe optique | — | Droite perpendiculaire à la lentille passant par $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$2 |
| Foyer image | $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$3 | Point où convergent des rayons incidents parallèles à l'axe |
| Foyer objet | $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$4 | Symétrique de $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$5 par rapport à $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$6 |
| Distance focale | $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$7 | Distance $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$8 pour une lentille convergente |
Rayons particuliers
Pour construire l'image d'un objet, on utilise trois rayons dont on connaît le trajet :
- Un rayon parallèle à l'axe optique → passe par le foyer image $$\sin(i_\ell) = \frac{n_2}{n_1}$$9 après la lentille.
- Un rayon passant par le centre optique $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$0 → n'est pas dévié.
- Un rayon passant par le foyer objet $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$1 → ressort parallèle à l'axe optique.
L'intersection de deux de ces rayons (au moins) donne la position de l'image.
Formation d'une image
Relation de conjugaison
Pour une lentille mince convergente, la position de l'image $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$2 d'un objet ponctuel $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$3 situé sur l'axe est donnée par la relation de conjugaison (avec origine au centre optique) :
$$\boxed{\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}}$$
Convention de signe : les distances sont algébriques, orientées dans le sens de propagation de la lumière. Un objet situé avant la lentille a $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$4.
Le grandissement
Le grandissement $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$5 (gamma) caractérise le rapport de taille entre l'image et l'objet :
$$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$0
- Si $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$6 : l'image est plus grande que l'objet.
- Si $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$7 : l'image est plus petite que l'objet.
- Si $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$8 : l'image est droite (même sens que l'objet).
- Si $$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$9 : l'image est renversée.
Exercice résolu
Un objet est placé à $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$0 cm d'une lentille convergente de distance focale $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$1 cm. Trouver la position de l'image et le grandissement.
Solution :
$$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$1
$$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$2
L'image est à 15 cm après la lentille (image réelle).
$$\boxed{n = \frac{c}{v}}$$3
L'image est renversée ($$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$2) et deux fois plus petite ($$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$3).
Modèle simplifié de l'œil
L'œil comme système optique
L'œil humain peut être modélisé comme un système optique convergent :
| Partie de l'œil | Modèle optique |
|---|---|
| Cornée + cristallin | Lentille convergente (distance focale variable) |
| Rétine | Écran (où se forme l'image) |
| Iris (pupille) | Diaphragme (régule la quantité de lumière) |
L'accommodation
Le cristallin peut modifier sa courbure (et donc sa distance focale $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$4) grâce aux muscles ciliaires :
- Œil au repos : $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$5 maximale → l'œil voit net les objets éloignés (point le plus loin = punctum remotum, à l'infini pour un œil normal).
- Œil accommodant : $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$6 diminue → l'œil voit net les objets proches (point le plus proche = punctum proximum, environ 25 cm pour un œil normal).
Défauts de la vision
| Défaut | Cause | Image | Correction |
|---|---|---|---|
| Myopie | Œil trop long ou trop convergent | Se forme avant la rétine | Lentille divergente |
| Hypermétropie | Œil trop court ou pas assez convergent | Se forme après la rétine | Lentille convergente |
À retenir
- L'indice de réfraction : $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$7 ($$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$8).
- Loi de Snell-Descartes : $$\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \times \sin(45°)}{1{,}50} = \frac{0{,}707}{1{,}50} = 0{,}471$$9.
- Si $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$0 → le rayon se rapproche de la normale ; si $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$1 → il s'en éloigne (possibilité de réflexion totale).
- La dispersion : l'indice dépend de $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$2 → décomposition de la lumière blanche par un prisme.
- Lentille convergente : $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$3 ; relation de conjugaison $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$4.
- Grandissement : $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$5 ; $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$6 = agrandissement, $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$7 = image renversée.
- L'œil est modélisé par une lentille convergente (cornée + cristallin) et un écran (rétine). L'accommodation fait varier $$i_2 = \arcsin(0{,}471) \approx 28{,}1°$$8.