Gravitation, poids et réaction du support

Introduction

Parmi toutes les forces, trois sont particulièrement importantes en mécanique de Seconde : la force gravitationnelle, le poids et la réaction du support. Cette leçon les détaille et montre comment les calculer.

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L'interaction gravitationnelle

La loi de la gravitation universelle

Deux corps de masses $$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$3 et $$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$4, séparés par une distance $$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$5 (mesurée entre leurs centres), exercent l'un sur l'autre des forces attractives dont la norme est :

$$F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$$

Grandeur	Symbole	Unité
Force gravitationnelle	$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$6	newton (N)
Constante de gravitation universelle	$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$7	N·m²·kg⁻²
Masses des corps	$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$8, $$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$9	kilogramme (kg)
Distance entre les centres	$$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$0	mètre (m)

La valeur de la constante de gravitation est :

$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$

Propriétés

• La force gravitationnelle est toujours attractive.
• Elle s'exerce entre toutes les masses de l'Univers.
• Elle diminue quand la distance augmente (en $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$1).
• Elle est réciproque : $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$2 attire $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$3 autant que $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$4 attire $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$5 (3ᵉ loi de Newton).

Exemple numérique

Calculons la force gravitationnelle entre la Terre ($$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$6 kg) et la Lune ($$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$7 kg), distantes de $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$8 m :

$$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$

$$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$

C'est cette force qui maintient la Lune en orbite autour de la Terre.

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Le poids

Définition

Le poids $$F = G \frac{m_T \cdot m_L}{d^2} = 6{,}674 \times 10^{-11} \times \frac{5{,}97 \times 10^{24} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$$9 d'un corps est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre (ou tout autre astre) sur ce corps, à proximité de sa surface. Il est donné par :

$$\vec{P} = m\vec{g}$$

Grandeur	Symbole	Unité
Poids	$$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$0	newton (N)
Masse	$$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$1	kilogramme (kg)
Intensité de pesanteur	$$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$2	m/s² (ou N/kg)

L'intensité de pesanteur $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$3

À la surface de la Terre : $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$4 m/s² (souvent arrondi à $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$5 ou $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$6 m/s²).

Le poids dérive de la loi de gravitation. En assimilant le corps à une masse ponctuelle à la distance $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$7 (rayon de la Terre) du centre de la Terre :

$$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$

Donc :

$$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$

Caractéristiques du vecteur poids

• Point d'application : centre de gravité du corps.
• Direction : verticale (la droite passant par le centre de la Terre et le corps).
• Sens : vers le bas (vers le centre de la Terre).
• Norme : $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$8 en newtons.

Variation de $$F \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N}$$9

La valeur de $$\vec{P} = m\vec{g}$$0 varie selon :

• l'altitude : plus on s'élève, plus $$\vec{P} = m\vec{g}$$1 diminue ;
• la latitude : $$\vec{P} = m\vec{g}$$2 est légèrement plus fort aux pôles ($$\vec{P} = m\vec{g}$$3 m/s²) qu'à l'équateur ($$\vec{P} = m\vec{g}$$4 m/s²) ;
• l'astre : sur la Lune, $$\vec{P} = m\vec{g}$$5 m/s² ; sur Mars, $$\vec{P} = m\vec{g}$$6 m/s².

Lieu	$$\vec{P} = m\vec{g}$$7 (m/s²)
Terre (surface)	9,81
Lune	1,62
Mars	3,72
Jupiter	24,8

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Poids et masse : ne pas confondre !

	Masse	Poids
Nature	Quantité de matière	Force
Unité	kilogramme (kg)	newton (N)
Instrument	Balance	Dynamomètre
Dépend du lieu ?	Non (invariante)	Oui (dépend de $$\vec{P} = m\vec{g}$$8)

Un astronaute de 80 kg a une masse de 80 kg sur la Terre et sur la Lune. Mais son poids passe de $$\vec{P} = m\vec{g}$$9 N sur Terre à $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$0 N sur la Lune.

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La réaction du support

Définition

Lorsqu'un objet est posé sur un support (table, sol, plan incliné…), le support exerce sur l'objet une force de contact appelée réaction du support, notée $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$1.

Décomposition de la réaction

La réaction se décompose en deux composantes :

• La réaction normale $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$2 : perpendiculaire à la surface de contact. Elle empêche l'objet de « traverser » le support.
• La force de frottement $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$3 : parallèle à la surface de contact. Elle s'oppose au glissement (ou à la tendance au glissement).

$$\vec{R} = \vec{R}_N + \vec{f}$$

Cas d'un plan horizontal sans frottement

Si la surface est horizontale et qu'il n'y a pas de frottement, la réaction est purement normale et verticale :

$$\vec{R} = \vec{R}_N$$

Pour un objet en équilibre sur un plan horizontal :

$$\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}$$

Donc $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$4, ce qui signifie que la réaction a la même norme que le poids ($$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$5) mais est dirigée vers le haut.

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Exemple complet : objet posé sur une table

Un livre de masse $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$6 kg est posé sur une table. On prend $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$7 m/s².

Inventaire des forces :

1. Poids : $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$8 (vertical, vers le bas)
2. $$P = G \frac{m_T \cdot m}{R_T^2} = m \cdot \underbrace{G \frac{m_T}{R_T^2}}_{= g}$$9 N
3. Réaction de la table : $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$0 (vertical, vers le haut)

Condition d'équilibre : $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$1, donc $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$2 N.

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Application : calculer une force gravitationnelle

Deux boules de bowling identiques de masse $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$3 kg sont posées à $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$4 m l'une de l'autre. Calculons la force gravitationnelle entre elles :

$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$0

$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$1

$$G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}$$2

Cette force est extrêmement faible et imperceptible au quotidien. La gravitation ne devient significative qu'avec des masses très grandes (planètes, étoiles…).

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À retenir

• Gravitation universelle : $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$5, toujours attractive.
• Poids : $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$6, force verticale vers le bas, $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$7 m/s² sur Terre.
• Masse (kg) ≠ Poids (N) : la masse est invariante, le poids dépend du lieu.
• Réaction du support $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$8 : perpendiculaire au support (+ frottement si glissement).
• À l'équilibre sur un plan horizontal : $$g = G \frac{m_T}{R_T^2}$$9.