Lois de Kirchhoff et loi d'Ohm
L'électricité
Lois de Kirchhoff et loi d'Ohm
Introduction
Dans la leçon précédente, nous avons découvert l'intensité et la tension. Nous allons maintenant établir les lois fondamentales qui permettent de calculer les grandeurs dans un circuit : les lois de Kirchhoff et la loi d'Ohm. Ces outils sont indispensables pour résoudre tout problème de circuit électrique.
La résistance électrique
Définition
La résistance $$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$9 d'un dipôle traduit sa capacité à s'opposer au passage du courant. Plus la résistance est élevée, plus le courant est faible pour une tension donnée.
- Unité : l'ohm (symbole $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$0).
- Multiples courants : $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$1 ; $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$2.
Le résistor
Un résistor (souvent appelé « résistance » par abus de langage) est un composant électronique dont la résistance est fixe et connue. Sa valeur peut être identifiée grâce au code couleur imprimé sur son boîtier.
| Bande | Couleur | Valeur |
|---|---|---|
| 1ère/2ème | Noir, Marron, … Rouge … | 0, 1, … 2 … |
| 3ème (multiplicateur) | Noir = ×1, Marron = ×10, … | — |
| 4ème (tolérance) | Or = ±5 %, Argent = ±10 % | — |
La loi d'Ohm
Énoncé
Pour un dipôle ohmique (résistor linéaire), la tension $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$3 à ses bornes est proportionnelle à l'intensité $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$4 qui le traverse :
$$\boxed{U = R \times I}$$
avec :
- $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$5 en volts (V)
- $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$6 en ohms ($$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$7)
- $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$8 en ampères (A)
Caractéristique d'un dipôle ohmique
La caractéristique $$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$9 d'un résistor est une droite passant par l'origine, de pente égale à $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$0 :
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$
Remarque : un dipôle dont la caractéristique n'est pas une droite (ex : diode, lampe) n'obéit pas à la loi d'Ohm — on dit qu'il est non ohmique.
Méthode expérimentale
Pour tracer la caractéristique d'un résistor :
1. Brancher un générateur variable, un ampèremètre (en série) et un voltmètre (en dérivation aux bornes du résistor).
2. Faire varier la tension et relever les couples $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$1.
3. Tracer $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$2 : si la courbe est une droite, le dipôle est ohmique et la pente donne $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$3.
Les lois de Kirchhoff
Loi des nœuds (1ère loi)
Énoncé : En un nœud du circuit, la somme des intensités des courants qui entrent est égale à la somme des intensités des courants qui sortent :
$$\boxed{\sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}}}$$
Interprétation physique : c'est la conservation de la charge — les charges ne s'accumulent pas en un point.
Exemple : au nœud N, trois branches se rejoignent avec $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$4 A entrant, $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$5 sortant et $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$6 A sortant. On a :
$$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$
Loi des mailles (2ème loi)
Énoncé : Dans une maille (boucle fermée) d'un circuit, la somme algébrique des tensions est nulle :
$$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$
Convention de signe : on choisit un sens de parcours arbitraire de la maille. Une tension est comptée positivement si elle est dans le sens de parcours, négativement sinon.
Exemple : dans une maille contenant un générateur (tension $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$7 V) et deux résistances ($$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$8, $$I_1 = I_2 + I_3 \implies I_2 = 3 - 1{,}5 = 1{,}5 \text{ A}$$9) :
$$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$
On retrouve la loi d'additivité des tensions en série comme cas particulier de la loi des mailles.
Association de résistances
En série
Lorsque plusieurs résistances sont branchées en série, elles sont traversées par le même courant. La résistance équivalente est la somme :
$$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$
Démonstration rapide : loi des mailles : $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$0.
Exemple : $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$1 et $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$2 en série → $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$3.
En dérivation (parallèle)
Lorsque plusieurs résistances sont branchées en dérivation, elles ont la même tension à leurs bornes. L'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses :
$$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$
Pour deux résistances :
$$R_{\text{éq}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$
Démonstration rapide : loi des nœuds : $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$4.
Exemple : $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$5 et $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$6 en parallèle → $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$7.
Remarque : la résistance équivalente en parallèle est toujours inférieure à la plus petite des résistances individuelles.
Puissance et énergie électriques
Puissance
La puissance électrique $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$8 consommée par un dipôle vaut :
$$\boxed{P = U \times I}$$
avec $$\boxed{\sum_{\text{maille}} U_k = 0}$$9 en watts (W), $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$0 en volts (V), $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$1 en ampères (A).
Pour un résistor (loi d'Ohm $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$2) :
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$0
Énergie
L'énergie $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$3 consommée pendant une durée $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$4 :
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$1
avec $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$5 en joules (J) si $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$6 en secondes, ou en kilowattheures (kWh) si $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$7 en heures et $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$8 en kW.
Conversion : $$E - U_1 - U_2 = 0 \implies U_1 + U_2 = E = 12 \text{ V}$$9.
Les capteurs résistifs
Principe
Certains composants ont une résistance qui varie en fonction d'une grandeur physique. On les utilise comme capteurs :
| Capteur | Grandeur mesurée | Comportement |
|---|---|---|
| Thermistance CTN | Température | $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$0 diminue quand $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$1 augmente |
| Photorésistance (LDR) | Éclairement | $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$2 diminue quand la lumière augmente |
Utilisation
En intégrant un capteur dans un pont diviseur de tension, on convertit la variation de résistance en variation de tension, mesurable par un voltmètre ou un microcontrôleur.
Pont diviseur de tension : pour deux résistances $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$3 et $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$4 en série alimentées par $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$5 :
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$2
Si $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$6 est une thermistance, $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$7 varie avec la température → on a un thermomètre électronique.
Applications numériques
Exercice résolu 1
Un résistor de $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$8 est traversé par un courant $$\boxed{R_{\text{éq}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n}$$9 mA. Calculer la tension à ses bornes et la puissance dissipée.
Solution :
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$3
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$4
Exercice résolu 2
Deux résistances $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$0 et $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$1 sont en parallèle, alimentées par un générateur de 12 V. Calculer la résistance équivalente, le courant total et le courant dans chaque branche.
Solution :
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$5
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$6
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$7
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\Delta U}{\Delta I}$$8
Vérification : $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$2 mA $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$3 ✓
À retenir
- La résistance $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$4 (en $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$5) d'un dipôle traduit son opposition au passage du courant.
- Loi d'Ohm : $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$6 pour un dipôle ohmique.
- Loi des nœuds : $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$7 (conservation de la charge).
- Loi des mailles : $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$8 dans toute boucle fermée.
- Résistances en série : $$\boxed{\frac{1}{R_{\text{éq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n}}$$9.
- Résistances en parallèle : $$R_{\text{éq}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$0.
- Puissance : $$R_{\text{éq}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$1.
- Énergie : $$R_{\text{éq}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$2.