Chute libre et mouvements variés
Le principe d'inertie
Chute libre et mouvements variés
Introduction
Le principe d'inertie permet de prédire le mouvement d'un objet quand les forces se compensent. Mais que se passe-t-il quand elles ne se compensent pas ? Le cas le plus simple et le plus fondamental est celui de la chute libre : un objet soumis uniquement à son poids.
La chute libre
Définition
Un objet est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$. On néglige toutes les autres forces (frottements de l'air, poussée d'Archimède…).
⚠️ « Chute libre » ne signifie pas forcément « tomber vers le bas ». Un objet lancé vers le haut est aussi en chute libre tant qu'il n'est soumis qu'à la gravité (phase ascendante comprise).
Conditions de validité
L'approximation de la chute libre est bonne quand :
- L'objet est dense et compact (frottements de l'air négligeables).
- La vitesse n'est pas trop grande (sinon les frottements deviennent significatifs).
- L'objet se déplace dans le vide (expérience du tube de Newton).
Chute libre verticale (sans vitesse initiale horizontale)
Situation
Un objet de masse $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$0 est lâché sans vitesse initiale (ou lancé verticalement) depuis une hauteur $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$1. On choisit un axe vertical $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$2 orienté vers le bas avec l'origine au point de lâcher.
Analyse des forces
- Système : l'objet de masse $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$3.
- Seule force : $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$4 (vers le bas).
- D'après la contraposée du principe d'inertie : $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$5 → le mouvement n'est pas un MRU.
Résultats (admis en Seconde)
L'objet subit une accélération constante $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$6 m/s² dirigée vers le bas.
La vitesse augmente linéairement avec le temps :
$$v(t) = g \cdot t$$
La position (distance parcourue depuis le point de lâcher) évolue de façon quadratique :
$$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$
| Temps $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$7 (s) | Vitesse $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$8 (m/s) | Distance $$z(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2$$9 (m) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 9,81 | 4,9 |
| 2 | 19,6 | 19,6 |
| 3 | 29,4 | 44,1 |
| 4 | 39,2 | 78,5 |
| 5 | 49,1 | 122,6 |
La vitesse augmente de $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$0 m/s chaque seconde. En 5 secondes, l'objet atteint environ 177 km/h !
Propriété fondamentale
En chute libre, tous les objets tombent à la même vitesse, indépendamment de leur masse (en l'absence de frottements). C'est ce que Galilée a démontré au XVIᵉ siècle et que les astronautes d'Apollo 15 ont vérifié sur la Lune en lâchant un marteau et une plume.
La chute libre avec vitesse initiale
Lancer vertical vers le haut
Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$1. Prenons l'axe $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$2 orienté vers le haut.
- Phase ascendante : la vitesse diminue ($$v(t) = v_0 - g \cdot t$$3 s'oppose au mouvement).
- Au sommet : la vitesse s'annule ($$v(t) = v_0 - g \cdot t$$4).
- Phase descendante : la vitesse augmente vers le bas.
Les équations deviennent :
$$v(t) = v_0 - g \cdot t$$
$$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$
La hauteur maximale est atteinte quand $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$5, soit à $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$6 :
$$z_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$
Exemple numérique
On lance une balle verticalement vers le haut avec $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$7 m/s. Quelle hauteur maximale atteint-elle ?
$$z_{\max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{15^2}{2 \times 9{,}81} = \frac{225}{19{,}62} \approx 11{,}5 \text{ m}$$
Le mouvement circulaire
Observation
Un objet en mouvement circulaire (ex : un satellite, une nacelle de manège) a un vecteur vitesse dont la direction change en permanence, même si la norme reste constante.
Analyse avec le principe d'inertie
Puisque le vecteur vitesse change de direction, le mouvement n'est pas rectiligne uniforme. D'après la contraposée du principe d'inertie :
$$\sum \vec{F} \neq \vec{0}$$
Les forces ne se compensent pas, même si la vitesse (en norme) est constante !
Cas du satellite en orbite circulaire
Un satellite en orbite circulaire autour de la Terre a une vitesse de norme constante, mais la direction du vecteur vitesse change continuellement. La seule force est l'attraction gravitationnelle $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$8 dirigée vers le centre de la Terre. Cette force :
- ne modifie pas la norme de la vitesse ;
- modifie la direction de la vitesse → maintient le satellite sur sa trajectoire circulaire.
Mouvement d'un projectile (chute libre à 2D)
Situation
Un objet est lancé avec une vitesse initiale $$v(t) = v_0 - g \cdot t$$9 faisant un angle $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$0 avec l'horizontale. En négligeant les frottements, l'objet est en chute libre.
Allure de la trajectoire
La trajectoire est une parabole. Horizontalement, le mouvement est uniforme (pas de force horizontale). Verticalement, le mouvement est uniformément accéléré (soumis au poids).
Chronophotographie et analyse du mouvement
Mouvement rectiligne accéléré (chute libre)
Sur une chronophotographie de chute libre verticale, les points sont de plus en plus espacés : le mouvement est accéléré.
Mouvement circulaire uniforme
Les points sont régulièrement espacés le long du cercle : la norme de la vitesse est constante (mais la direction change).
Mouvement décéléré (freinage)
Les points sont de plus en plus rapprochés : la vitesse diminue.
Résumé des différents mouvements
| Mouvement | Trajectoire | Vitesse | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$1 |
|---|---|---|---|
| Repos | Aucune (point fixe) | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$2 | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$3 |
| MRU | Rectiligne | Constante | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$4 |
| Rectiligne accéléré | Rectiligne | Augmente | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$5 (dans le sens du mouvement) |
| Rectiligne décéléré | Rectiligne | Diminue | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$6 (sens opposé au mouvement) |
| Circulaire uniforme | Circulaire | Norme constante | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$7 (vers le centre) |
| Chute libre | Rectiligne ou parabolique | Varie | $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$8 |
Exemples d'application
Exemple 1 : durée de chute
Un caillou est lâché du haut d'un pont situé à $$z(t) = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2$$9 m au-dessus de l'eau. Combien de temps met-il pour atteindre l'eau ?
$$z = \frac{1}{2}gt^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 45}{9{,}81}} = \sqrt{9{,}17} \approx 3{,}0 \text{ s}$$
Exemple 2 : vitesse à l'arrivée
En reprenant l'exemple précédent, quelle est la vitesse du caillou quand il touche l'eau ?
$$v = g \cdot t = 9{,}81 \times 3{,}0 \approx 29 \text{ m/s} \approx 106 \text{ km/h}$$
À retenir
- Un objet en chute libre n'est soumis qu'à son poids : $$z_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$0.
- En chute libre verticale sans vitesse initiale : $$z_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$1 et $$z_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$2.
- Tous les objets tombent à la même vitesse en chute libre (indépendant de la masse).
- Un mouvement circulaire (même uniforme) implique $$z_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$3 car le vecteur vitesse change de direction.
- La chronophotographie permet de caractériser un mouvement : points espacés → accéléré, rapprochés → décéléré, réguliers → uniforme.