Trajectoire, vecteur déplacement et vitesse
Description d'un mouvement
Trajectoire, vecteur déplacement et vitesse
Introduction
Une fois le système et le référentiel définis, on peut caractériser le mouvement de façon précise. Cette leçon introduit trois notions fondamentales : la trajectoire, le vecteur déplacement et la vitesse.
La trajectoire
Définition
La trajectoire d'un point matériel dans un référentiel donné est l'ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps. C'est la « trace » laissée par le mouvement.
Types de trajectoires
| Trajectoire | Forme | Exemple |
|---|---|---|
| Rectiligne | Ligne droite | Voiture sur une route droite |
| Circulaire | Cercle ou arc de cercle | Nacelle de grande roue, satellite en orbite circulaire |
| Parabolique | Parabole | Balle lancée en l'air |
| Quelconque | Courbe irrégulière | Mouche en vol |
La trajectoire dépend du référentiel. Une balle lâchée dans un train a une trajectoire rectiligne verticale dans le référentiel du train, mais parabolique dans le référentiel terrestre.
Le vecteur déplacement
Définition
Soit un point matériel occupant la position $M$ à l'instant $t$ et la position $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$0 à l'instant $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$1. Le vecteur déplacement est :
$$\vec{MM'} = \overrightarrow{OM'} - \overrightarrow{OM}$$
où $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$2 est l'origine du repère.
Propriétés du vecteur déplacement
- Direction : de $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$3 vers $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$4.
- Sens : de la position initiale vers la position finale.
- Norme : $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$5 est la distance en ligne droite entre $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$6 et $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$7 (ce n'est pas la distance parcourue le long de la trajectoire, sauf si celle-ci est rectiligne).
Distinction importante
La distance parcourue $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$8 le long de la trajectoire est en général supérieure ou égale à la norme du vecteur déplacement :
$$d \geq \|\vec{MM'}\|$$
L'égalité n'est vérifiée que pour un mouvement rectiligne entre $$d \geq \|\vec{MM'}\|$$9 et $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$0.
La vitesse moyenne
Définition scalaire
La vitesse moyenne $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$1 d'un objet entre deux instants est le rapport de la distance parcourue $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$2 sur la durée $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$3 :
$$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$
- $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$4 s'exprime en mètres par seconde (m/s) dans le Système International.
- $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$5 est la distance parcourue le long de la trajectoire (en m).
- $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$6 est la durée du parcours (en s).
Conversion km/h ↔ m/s
$$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$
Astuce : pour convertir de km/h en m/s, on divise par 3,6. Pour convertir de m/s en km/h, on multiplie par 3,6.
| Vitesse en km/h | Vitesse en m/s |
|---|---|
| 36 | 10 |
| 90 | 25 |
| 130 | 36,1 |
Définition vectorielle
Le vecteur vitesse moyenne est défini par :
$$\vec{v}_m = \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$
Il a la même direction et le même sens que le vecteur déplacement $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$7.
La vitesse instantanée
Définition
La vitesse instantanée est la vitesse à un instant $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$8 précis. Elle est obtenue en considérant la vitesse moyenne sur un intervalle de temps $$v_m = \frac{d}{\Delta t}$$9 de plus en plus petit :
$$\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$
En pratique, sur une chronophotographie, on approxime la vitesse instantanée au point $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$0 par :
$$v_i \approx \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{t_{i+1} - t_{i-1}} = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\Delta t}$$
Le vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse instantanée $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$1 est tangent à la trajectoire au point considéré. Il est orienté dans le sens du mouvement.
- Sa norme est la valeur de la vitesse (en m/s).
- Sa direction est la tangente à la trajectoire.
- Son sens est celui du mouvement.
Classification des mouvements
Le mouvement d'un objet se classe selon l'évolution de sa vitesse et de sa trajectoire.
Selon la trajectoire
| Trajectoire | Nom du mouvement |
|---|---|
| Ligne droite | Mouvement rectiligne |
| Cercle | Mouvement circulaire |
| Autre courbe | Mouvement curviligne |
Selon la vitesse
| Évolution de $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$2 | Nom du mouvement |
|---|---|
| $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$3 constante | Mouvement uniforme |
| $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$4 augmente | Mouvement accéléré |
| $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$5 diminue | Mouvement décéléré (ou ralenti) |
Combinaisons courantes
- Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : trajectoire droite et vitesse constante.
- Mouvement rectiligne uniformément accéléré : trajectoire droite et vitesse qui augmente régulièrement.
- Mouvement circulaire uniforme (MCU) : trajectoire circulaire et norme de la vitesse constante (mais la direction change !).
Interpréter une chronophotographie
Sur une chronophotographie (intervalle de temps $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$6 constant) :
- Si les points sont régulièrement espacés → mouvement uniforme.
- Si les points se rapprochent → mouvement décéléré.
- Si les points s'éloignent → mouvement accéléré.
Exemple de calcul
Une voiture parcourt 150 km en 1h30.
$$v_m = \frac{d}{\Delta t} = \frac{150 \times 10^3}{1{,}5 \times 3600} = \frac{150\,000}{5\,400} \approx 27{,}8 \text{ m/s}$$
En km/h : $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$7 km/h.
À retenir
- La trajectoire est l'ensemble des positions successives du système dans le référentiel choisi.
- Le vecteur déplacement $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$8 relie deux positions ; sa norme ≠ distance parcourue (sauf mouvement rectiligne).
- La vitesse moyenne : $$1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ m/s} \approx 0{,}278 \text{ m/s}$$9 (scalaire) ; vecteur vitesse moyenne : $$\vec{v}_m = \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$0.
- La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne quand $$\vec{v}_m = \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$1 ; son vecteur est tangent à la trajectoire.
- Un mouvement est uniforme si $$\vec{v}_m = \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$2, accéléré si $$\vec{v}_m = \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$3 augmente, décéléré si $$\vec{v}_m = \frac{\vec{MM'}}{\Delta t}$$4 diminue.