Travail d'une force

Définition

Le travail d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{AB}$ est :

$$ W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos(\alpha) $$

• $F$ : norme de la force (N)
• $AB$ : distance parcourue (m)
• $\alpha$ : angle entre $\vec{F}$ et $\vec{AB}$
• Unité : le joule (J)

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Cas particuliers

Situation	Angle $\alpha$	Travail
Force dans le sens du déplacement	$0°$	$W = F \cdot d > 0$ (moteur)
Force perpendiculaire au déplacement	$90°$	$W = 0$
Force opposée au déplacement	$180°$	$W = -F \cdot d < 0$ (résistant)

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Travail du poids

Le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude :

$$ W_{AB}(\vec{P}) = m g (z_A - z_B) = m g \Delta z $$

• Si le corps descend ($z_A > z_B$) : $W > 0$ (moteur)
• Si le corps monte ($z_A < z_B$) : $W < 0$ (résistant)
• Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi → le poids est une force conservative

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Puissance

La puissance est le travail par unité de temps :

$$ P = \frac{W}{\Delta t} = \vec{F} \cdot \vec{v} $$

Unité : le watt (W) — 1 W = 1 J·s⁻¹

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Travail du poids sur un trajet quelconque

Le travail du poids est un cas particulier important. Pour un objet de masse $m$ se déplaçant d'un point A (altitude $z_A$) à un point B (altitude $z_B$), le travail du poids vaut :

$$W(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A - z_B)$$

Ce résultat est remarquable car le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude, pas du chemin suivi ! On dit que le poids est une force conservative. Que l'objet descende en ligne droite, en zigzag ou en spirale, le travail du poids est le même.

En revanche, les forces de frottement sont non conservatives : leur travail dépend du chemin parcouru. Plus le trajet est long, plus le travail résistant des frottements est important (en valeur absolue).

Lien entre travail et énergie

Le concept de travail est fondamental car il fait le lien entre force et énergie. Le travail des forces extérieures sur un système correspond à un transfert d'énergie : un travail moteur augmente l'énergie du système, un travail résistant la diminue.

Exemples concrets

Pousser un chariot de supermarché

Lorsqu'on pousse un chariot avec une force $F = 40$ N sur une distance $d = 50$ m dans la direction du déplacement ($\alpha = 0°$) :
$$W = F \cdot d \cdot \cos(0°) = 40 \times 50 \times 1 = 2\,000 \text{ J} = 2{,}0 \text{ kJ}$$

Le travail est moteur car la force et le déplacement sont dans le même sens.

Porter une valise horizontalement

Si on porte une valise ($P = 100$ N) en marchant horizontalement sur 200 m, le travail du poids est nul car la force (verticale) est perpendiculaire au déplacement (horizontal) : $\cos(90°) = 0$, donc $W_P = 0$. Le poids ne fournit aucun travail dans ce cas.

Astuce : Pour déterminer rapidement si un travail est moteur ou résistant, observez l'angle entre la force et le déplacement : si $\alpha < 90°$ → moteur ($W > 0$) ; si $\alpha > 90°$ → résistant ($W < 0$) ; si $\alpha = 90°$ → nul.

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Exercice résolu

Énoncé : Un déménageur tire une caisse de masse $m = 40$ kg sur un sol horizontal à l'aide d'une corde inclinée de $\alpha = 30°$ par rapport à l'horizontale. La force de traction vaut $F = 150$ N et la caisse glisse sur $d = 8{,}0$ m. La force de frottement vaut $f = 80$ N.

1. Calculer le travail de la force de traction.
2. Calculer le travail de la force de frottement.
3. Calculer le travail du poids.
4. En déduire le travail total des forces.

Solution :

Question 1 :
$$W_F = F \cdot d \cdot \cos(\alpha) = 150 \times 8{,}0 \times \cos(30°) = 1\,200 \times 0{,}866 = 1\,039 \text{ J}$$

Question 2 :
Le frottement est opposé au déplacement ($\alpha = 180°$) :
$$W_f = f \cdot d \cdot \cos(180°) = 80 \times 8{,}0 \times (-1) = -640 \text{ J}$$

Question 3 :
Le déplacement est horizontal, le poids est vertical :
$$W_P = P \cdot d \cdot \cos(90°) = 0 \text{ J}$$

Question 4 :
$$W_{total} = W_F + W_f + W_P = 1\,039 + (-640) + 0 = 399 \text{ J}$$

Le travail total est positif : la caisse accélère.

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À retenir

• Le travail d'une force constante : $W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$, unité : le joule (J)
• Travail moteur ($W > 0$) : la force favorise le mouvement ($\alpha < 90°$)
• Travail résistant ($W < 0$) : la force s'oppose au mouvement ($\alpha > 90°$)
• Travail nul : force perpendiculaire au déplacement ($\alpha = 90°$)
• La puissance est le travail par unité de temps : $P = W / \Delta t$, unité : le watt (W)

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