Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique
Travail et énergie cinétique
Énergie cinétique et théorème de l'énergie cinétique
Énergie cinétique
L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $v$ :
$$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $$
- $m$ en kg, $v$ en m·s⁻¹, $E_c$ en J
Théorème de l'énergie cinétique
La variation d'énergie cinétique d'un système entre deux points A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures :
$$ \Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}_{ext}) $$
Soit :
$$
\frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = \sum W_{AB}
$$
Application : freinage d'une voiture
Données : $m = 1200$ kg, $v_A = 90$ km·h⁻¹ $= 25$ m·s⁻¹, $v_B = 0$
$$ \Delta E_c = 0 - \frac{1}{2} \times 1200 \times 25^2 = -375\,000 \text{ J} = -375 \text{ kJ} $$
La force de frottement doit effectuer un travail de $-375$ kJ pour stopper le véhicule.
Si $F_{frot} = 7500$ N :
$$
d = \frac{|\Delta E_c|}{F_{frot}} = \frac{375\,000}{7500} = 50 \text{ m}
$$
Lien avec les forces
| Si $\sum W > 0$ | $E_c$ augmente | Le système accélère |
|---|---|---|
| Si $\sum W = 0$ | $E_c$ constante | Vitesse constante |
| Si $\sum W < 0$ | $E_c$ diminue | Le système ralentit |
Ordres de grandeur d'énergie cinétique
Le tableau suivant donne une idée des ordres de grandeur d'énergie cinétique dans la vie courante :
| Système | Masse | Vitesse | $E_c$ |
|---|---|---|---|
| Marcheur | 70 kg | 5 km/h (1,4 m/s) | 69 J |
| Cycliste | 80 kg | 25 km/h (6,9 m/s) | 1 900 J |
| Voiture en ville | 1 200 kg | 50 km/h (13,9 m/s) | $1{,}16 \times 10^5$ J |
| Voiture sur autoroute | 1 200 kg | 130 km/h (36,1 m/s) | $7{,}82 \times 10^5$ J |
| TGV | 400 000 kg | 300 km/h (83,3 m/s) | $1{,}39 \times 10^9$ J |
On constate que l'énergie cinétique peut varier sur de nombreux ordres de grandeur. Cela explique pourquoi les accidents à grande vitesse sont si destructeurs : l'énergie à dissiper lors du choc est considérable.
Lien entre théorème de l'énergie cinétique et 2ᵉ loi de Newton
Le théorème de l'énergie cinétique est en fait une conséquence mathématique de la 2ᵉ loi de Newton. En intégrant $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ le long de la trajectoire, on obtient $\Delta E_c = \sum W_i$. Le théorème apporte un point de vue énergétique complémentaire au point de vue dynamique (forces et accélération).
Exemples concrets
Distance de freinage d'une voiture
Une voiture de masse $m = 1\,200$ kg roulant à 50 km/h ($\approx 13{,}9$ m/s) possède une énergie cinétique :
$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1\,200 \times 13{,}9^2 \approx 1{,}16 \times 10^5 \text{ J}$$
À 100 km/h ($\approx 27{,}8$ m/s), son énergie cinétique vaut :
$$E_c = \frac{1}{2} \times 1\,200 \times 27{,}8^2 \approx 4{,}63 \times 10^5 \text{ J}$$
La vitesse a doublé, mais l'énergie cinétique a quadruplé ! C'est pourquoi la distance de freinage est environ 4 fois plus grande à 100 km/h qu'à 50 km/h.
Un joueur de tennis
Une balle de tennis ($m = 57$ g) frappée à $v = 200$ km/h ($\approx 55{,}6$ m/s) possède une énergie cinétique de $E_c \approx 88$ J. Malgré sa faible masse, sa grande vitesse lui confère une énergie significative.
Attention : L'énergie cinétique varie comme le carré de la vitesse. Doubler la vitesse multiplie l'énergie cinétique par 4, pas par 2.
Exercice résolu
Énoncé : Une voiture de masse $m = 1\,500$ kg roule à $v_0 = 72$ km/h lorsque le conducteur freine. La force de freinage totale (freins + frottements) vaut $F = 7\,500$ N.
- Calculer l'énergie cinétique initiale de la voiture.
- En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, déterminer la distance de freinage.
- Quelle serait la distance de freinage si la vitesse initiale était de 144 km/h ?
Solution :
Question 1 :
$$v_0 = 72 \text{ km/h} = 20 \text{ m/s}$$
$$E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \times 1\,500 \times 20^2 = 3{,}0 \times 10^5 \text{ J}$$
Question 2 :
Le théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = \sum W$. La voiture passe de $v_0$ à $v = 0$ :
$$E_{c,f} - E_{c,i} = -F \cdot d$$
$$0 - 3{,}0 \times 10^5 = -7\,500 \times d$$
$$d = \frac{3{,}0 \times 10^5}{7\,500} = 40 \text{ m}$$
Question 3 :
À 144 km/h ($= 40$ m/s), $E_{c,i} = \frac{1}{2} \times 1\,500 \times 40^2 = 1{,}2 \times 10^6$ J.
$$d = \frac{1{,}2 \times 10^6}{7\,500} = 160 \text{ m}$$
La vitesse a doublé, la distance de freinage a quadruplé (facteur 4).
À retenir
- L'énergie cinétique : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, unité : le joule (J)
- $E_c$ est toujours positive ou nulle (nulle si l'objet est immobile)
- Théorème de l'énergie cinétique : la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces : $\Delta E_c = \sum W_i$
- $E_c$ varie comme le carré de la vitesse : doubler $v$ multiplie $E_c$ par 4
- Ce théorème permet de relier force, distance et variation de vitesse sans connaître l'accélération