Pression dans un fluide

Notion de pression

La pression $P$ est le rapport de la force $F$ exercée perpendiculairement à une surface $S$ :

$$ P = \frac{F}{S} $$

• Unité SI : le pascal (Pa) — 1 Pa = 1 N·m⁻²
• Autres unités : 1 bar = $10^5$ Pa ; 1 atm = $1{,}013 \times 10^5$ Pa

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Propriétés de la pression dans un fluide au repos

Principe de Pascal

La pression exercée sur un fluide incompressible en équilibre se transmet intégralement dans toutes les directions.

Pression dans un fluide au repos

Dans un fluide homogène incompressible de masse volumique $\rho$, soumis à la gravité :

$$ P = P_0 + \rho g h $$

• $P_0$ : pression à la surface libre (souvent la pression atmosphérique)
• $\rho$ : masse volumique du fluide (kg·m⁻³)
• $g$ : accélération de la pesanteur (m·s⁻²)
• $h$ : profondeur sous la surface libre (m)

Conséquences

• La pression augmente avec la profondeur
• Tous les points situés à la même profondeur dans un même fluide au repos sont à la même pression (surfaces isobares horizontales)

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Exemples

Pression au fond d'une piscine de 3 m de profondeur :

$P_0 = 1{,}013 \times 10^5$ Pa, $\rho_{eau} = 1000$ kg·m⁻³, $g = 9{,}81$ m·s⁻²

$$ P = 1{,}013 \times 10^5 + 1000 \times 9{,}81 \times 3 = 1{,}31 \times 10^5 \text{ Pa} $$

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Mesure de la pression

• Manomètre : mesure la pression relative (par rapport à $P_0$)
• Baromètre : mesure la pression atmosphérique

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Principe de Pascal

Le principe de Pascal (1653) énonce que toute variation de pression appliquée en un point d'un fluide incompressible au repos se transmet intégralement à tous les points du fluide. Ce principe est à la base du fonctionnement des vérins hydrauliques, des freins de voiture et des presses hydrauliques.

Dans un vérin hydraulique, une force modeste $F_1$ appliquée sur un petit piston de section $S_1$ crée une pression $P = F_1 / S_1$ qui se transmet au grand piston de section $S_2$, générant une force amplifiée :

$$F_2 = P \times S_2 = F_1 \times \frac{S_2}{S_1}$$

Par exemple, si $S_2 = 10 \times S_1$, la force est multipliée par 10. C'est le principe de la multiplication des forces, essentiel en mécanique automobile et dans les engins de chantier.

Pression et profondeur : une conséquence directe

L'augmentation de la pression avec la profondeur s'explique par le poids de la colonne de fluide au-dessus. Plus on descend, plus cette colonne est haute et lourde, plus la pression est élevée. C'est pourquoi les murs des barrages sont toujours plus épais à la base qu'au sommet.

Exemples concrets

La plongée sous-marine

Un plongeur descend dans la mer (eau de mer : $\rho = 1{,}025 \times 10^3$ kg/m³). À chaque tranche de 10 m de profondeur, la pression augmente d'environ 1 bar ($10^5$ Pa). À 30 m de profondeur, la pression totale vaut environ 4 bar (1 atm en surface + 3 bar dus à l'eau). C'est pourquoi les plongeurs doivent remonter lentement pour éviter les accidents de décompression.

Le baromètre de Torricelli

En 1643, Torricelli inventa le premier baromètre : un tube de mercure ($\rho_{Hg} = 13\,600$ kg/m³) retourné dans une cuve. La pression atmosphérique soutient une colonne de mercure d'environ 760 mm. En utilisant la loi fondamentale de l'hydrostatique :

$$P_{atm} = \rho_{Hg} \cdot g \cdot h = 13\,600 \times 9{,}81 \times 0{,}760 \approx 1{,}013 \times 10^5 \text{ Pa}$$

Attention : La pression ne dépend pas de la forme du récipient ni de la surface — uniquement de la profondeur, la masse volumique du fluide et l'intensité de pesanteur.

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Exercice résolu

Énoncé : Une piscine a une profondeur maximale de $h = 3{,}5$ m. La masse volumique de l'eau est $\rho = 1{,}00 \times 10^3$ kg/m³ et la pression atmosphérique vaut $P_{atm} = 1{,}013 \times 10^5$ Pa.

1. Calculer la surpression due à l'eau au fond de la piscine.
2. En déduire la pression totale au fond.
3. Quelle force s'exerce sur un carré de 10 cm de côté situé au fond ?

Solution :

Question 1 :
$$\Delta P = \rho \cdot g \cdot h = 1{,}00 \times 10^3 \times 9{,}81 \times 3{,}5 = 3{,}43 \times 10^4 \text{ Pa}$$

Question 2 :
$$P_{fond} = P_{atm} + \Delta P = 1{,}013 \times 10^5 + 3{,}43 \times 10^4 = 1{,}356 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1{,}36 \text{ bar}$$

Question 3 :
La surface du carré : $S = (0{,}10)^2 = 0{,}010$ m².
$$F = P_{fond} \times S = 1{,}356 \times 10^5 \times 0{,}010 = 1{,}36 \times 10^3 \text{ N} \approx 1{,}4 \text{ kN}$$

Cette force est équivalente au poids d'un objet de 139 kg !

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À retenir

• La pression est le rapport force/surface : $P = F / S$, unité : le pascal (Pa)
• En tout point d'un fluide au repos : $P = P_{atm} + \rho \cdot g \cdot h$
• La pression augmente avec la profondeur et la masse volumique du fluide
• 1 bar = $10^5$ Pa ; 1 atm $\approx$ 1,013 bar
• La pression est la même en tout point d'un même plan horizontal (loi de Pascal)

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