Poussée d'Archimède
Statique des fluides
Poussée d'Archimède
Énoncé du principe
Tout corps immergé (partiellement ou totalement) dans un fluide au repos subit de la part de ce fluide une force verticale, dirigée vers le haut, appelée poussée d'Archimède :
$$ \vec{\Pi} = -\rho_{fluide} \cdot V_{immergé} \cdot \vec{g} $$
En norme :
$$
\Pi = \rho_{fluide} \cdot V_{immergé} \cdot g
$$
- $\rho_{fluide}$ : masse volumique du fluide (kg·m⁻³)
- $V_{immergé}$ : volume de la partie immergée du corps (m³)
- $g$ : accélération de la pesanteur (m·s⁻²)
Origine de la poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède résulte de la différence de pression entre le bas et le haut du corps immergé. La pression étant plus forte en bas (car $P$ augmente avec la profondeur), la résultante des forces de pression est dirigée vers le haut.
Conditions d'équilibre d'un corps dans un fluide
Un corps de masse volumique $\rho_{corps}$ dans un fluide de masse volumique $\rho_{fluide}$ :
| Condition | Comportement |
|---|---|
| $\rho_{corps} < \rho_{fluide}$ | Le corps flotte |
| $\rho_{corps} = \rho_{fluide}$ | Le corps est en équilibre indifférent |
| $\rho_{corps} > \rho_{fluide}$ | Le corps coule |
Exemple
Un bloc d'aluminium ($\rho = 2700$ kg·m⁻³, volume $V = 0{,}001$ m³) immergé dans l'eau :
- Poids : $P = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g = 2700 \times 0{,}001 \times 9{,}81 = 26{,}5$ N
- Poussée d'Archimède : $\Pi = 1000 \times 0{,}001 \times 9{,}81 = 9{,}81$ N
- Le bloc coule car $P > \Pi$
- Le poids apparent vaut : $P - \Pi = 26{,}5 - 9{,}81 = 16{,}7$ N
Flottaison partielle
Quand un objet flotte à la surface d'un fluide, seule une partie de son volume est immergée. À l'équilibre, le poids de l'objet est exactement égal à la poussée d'Archimède :
$$m_{objet} \cdot g = \rho_{fluide} \cdot g \cdot V_{immergé}$$
On en déduit la fraction immergée :
$$\frac{V_{immergé}}{V_{total}} = \frac{\rho_{objet}}{\rho_{fluide}}$$
Par exemple, un iceberg ($\rho_{glace} \approx 917$ kg/m³) flotte dans l'eau de mer ($\rho_{eau} \approx 1\,025$ kg/m³). La fraction immergée est $917/1025 \approx 89\,\%$. Ainsi, environ 90 % du volume de l'iceberg se trouve sous la surface — d'où l'expression « la partie émergée de l'iceberg ».
Cas des gaz
La poussée d'Archimède existe aussi dans les gaz ! Un ballon gonflé à l'hélium ($\rho_{He} = 0{,}164$ kg/m³) s'élève dans l'air ($\rho_{air} = 1{,}29$ kg/m³) car la poussée d'Archimède exercée par l'air est supérieure au poids total du ballon. Ce principe est utilisé par les montgolfières et les dirigeables.
Exemples concrets
Un navire en acier qui flotte
L'acier est bien plus dense que l'eau ($\rho_{acier} \approx 7\,800$ kg/m³ contre $\rho_{eau} = 1\,000$ kg/m³). Pourtant, un navire flotte car sa coque creuse déplace un volume d'eau dont le poids est égal au poids total du navire. Le navire s'enfonce jusqu'à ce que la poussée d'Archimède équilibre exactement son poids. Si on charge trop le navire, il s'enfonce davantage et peut couler si la ligne de flottaison dépasse le pont.
Un ballon d'hélium
Un ballon gonflé à l'hélium ($\rho_{He} = 0{,}164$ kg/m³) s'élève dans l'air ($\rho_{air} = 1{,}29$ kg/m³) car la poussée d'Archimède exercée par l'air sur le ballon est supérieure au poids total (enveloppe + hélium). Il monte jusqu'à une altitude où la masse volumique de l'air ambiant devient trop faible.
Astuce : Pour savoir si un objet flotte, comparez sa masse volumique moyenne à celle du fluide : si $\rho_{objet} < \rho_{fluide}$, il flotte ; sinon, il coule.
Exercice résolu
Énoncé : Un cube d'aluminium ($\rho_{Al} = 2\,700$ kg/m³) de côté $a = 5{,}0$ cm est plongé dans de l'eau ($\rho_{eau} = 1\,000$ kg/m³).
- Calculer le volume et la masse du cube.
- Calculer la poussée d'Archimède exercée sur le cube totalement immergé.
- Le cube coule-t-il ? Calculer la force résultante.
Solution :
Question 1 :
$$V = a^3 = (0{,}050)^3 = 1{,}25 \times 10^{-4} \text{ m}^3$$
$$m = \rho_{Al} \times V = 2\,700 \times 1{,}25 \times 10^{-4} = 0{,}338 \text{ kg}$$
Question 2 :
$$\Pi = \rho_{eau} \cdot g \cdot V = 1\,000 \times 9{,}81 \times 1{,}25 \times 10^{-4} = 1{,}23 \text{ N}$$
Question 3 :
Le poids du cube : $P = m \cdot g = 0{,}338 \times 9{,}81 = 3{,}31$ N.
Comme $P > \Pi$ (soit $3{,}31 > 1{,}23$ N), le cube coule. La force résultante vers le bas vaut :
$$F_{res} = P - \Pi = 3{,}31 - 1{,}23 = 2{,}08 \text{ N}$$
On retrouve bien : $\rho_{Al} > \rho_{eau}$, donc l'objet coule.
À retenir
- La poussée d'Archimède est la force exercée par un fluide sur un objet immergé : $\Pi = \rho_{fluide} \cdot g \cdot V_{immergé}$
- Elle est dirigée vers le haut, opposée au poids
- Condition de flottaison : $\rho_{objet} < \rho_{fluide}$ (poussée > poids)
- Pour un objet flottant en équilibre : $\Pi = P$ (la partie immergée déplace un volume d'eau de poids égal au poids de l'objet)
- La poussée d'Archimède ne dépend pas de la profondeur (pour un objet totalement immergé)