Ondes périodiques et longueur d'onde

Onde progressive périodique

Une onde est périodique si la source vibre de façon répétitive. Si la vibration est sinusoïdale, l'onde est dite sinusoïdale ou harmonique.

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Période et fréquence

• Période $T$ : durée d'un cycle complet (s)
• Fréquence $f$ : nombre de cycles par seconde (Hz)

$$ f = \frac{1}{T} $$

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Longueur d'onde

La longueur d'onde $\lambda$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période :

$$ \lambda = v \times T = \frac{v}{f} $$

• $\lambda$ en mètres (m)
• C'est aussi la distance entre deux points consécutifs en phase

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Double périodicité

Une onde sinusoïdale présente une double périodicité :
- Temporelle : à un point fixe, le mouvement se répète avec la période $T$
- Spatiale : à un instant donné, le motif se répète avec la longueur d'onde $\lambda$

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Exemples

Onde sonore : fréquence $f = 440$ Hz (La₃), célérité $v = 340$ m·s⁻¹

$$ \lambda = \frac{340}{440} = 0{,}77 \text{ m} $$

Onde à la surface de l'eau : $T = 0{,}5$ s, $v = 2$ m·s⁻¹

$$ \lambda = 2 \times 0{,}5 = 1{,}0 \text{ m} $$

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Phénomène de diffraction (introduction)

Lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture de dimension comparable à sa longueur d'onde, elle se diffracte : la direction de propagation est modifiée.

• Plus l'ouverture est petite par rapport à $\lambda$, plus la diffraction est marquée
• Ce phénomène prouve la nature ondulatoire

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Dispersion et milieux dispersifs

Dans certains milieux, la vitesse de propagation dépend de la fréquence de l'onde : on parle de dispersion. Le verre est un milieu dispersif pour la lumière : la lumière bleue (haute fréquence) se propage plus lentement que la lumière rouge (basse fréquence). C'est ce phénomène qui explique la décomposition de la lumière blanche par un prisme et la formation des arcs-en-ciel.

Pour le son dans l'air, la vitesse est pratiquement indépendante de la fréquence (milieu non dispersif) : c'est pourquoi un orchestre sonne « juste » même à distance — toutes les fréquences arrivent en même temps.

Spectre sonore et musical

Les sons musicaux sont caractérisés par trois qualités :
- La hauteur : liée à la fréquence fondamentale (grave = basse fréquence, aigu = haute fréquence)
- L'intensité : liée à l'amplitude de l'onde (fort = grande amplitude)
- Le timbre : lié aux harmoniques (multiples de la fréquence fondamentale) — c'est ce qui distingue un piano d'un violon jouant la même note

Exemples concrets

Le diapason (la₃ = 440 Hz)

Le diapason émet un son pur de fréquence $f = 440$ Hz (le « la » de référence pour accorder les instruments). Cela signifie que la membrane vibre 440 fois par seconde. La période du son est :
$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{440} \approx 2{,}27 \times 10^{-3} \text{ s} \approx 2{,}3 \text{ ms}$$

Sa longueur d'onde dans l'air ($v_{son} = 340$ m/s) :
$$\lambda = v \times T = \frac{v}{f} = \frac{340}{440} \approx 0{,}77 \text{ m}$$

Les ondes radio FM

Une station FM émettant à $f = 101{,}5$ MHz utilise des ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse de la lumière ($c = 3 \times 10^8$ m/s). La longueur d'onde est :
$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{101{,}5 \times 10^6} \approx 2{,}96 \text{ m}$$

C'est pour cela que les antennes FM mesurent environ 75 cm (un quart d'onde).

Astuce : Pour convertir une fréquence en période : $T = 1/f$. Pour trouver la longueur d'onde : $\lambda = v/f$ (ou $\lambda = v \times T$).

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Exercice résolu

Énoncé : Un haut-parleur émet un son de fréquence $f = 680$ Hz. La vitesse du son dans l'air est $v_{air} = 340$ m/s et dans l'eau $v_{eau} = 1\,500$ m/s.

1. Calculer la période du son.
2. Calculer la longueur d'onde dans l'air.
3. Calculer la longueur d'onde dans l'eau.
4. Que peut-on conclure sur l'influence du milieu ?

Solution :

Question 1 :
$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{680} \approx 1{,}47 \times 10^{-3} \text{ s} = 1{,}47 \text{ ms}$$

Question 2 :
$$\lambda_{air} = \frac{v_{air}}{f} = \frac{340}{680} = 0{,}50 \text{ m}$$

Question 3 :
$$\lambda_{eau} = \frac{v_{eau}}{f} = \frac{1\,500}{680} \approx 2{,}21 \text{ m}$$

Question 4 :
La fréquence ne change pas quand l'onde passe d'un milieu à un autre (elle est fixée par la source). En revanche, la longueur d'onde change car la vitesse de propagation est différente. La longueur d'onde est environ 4,4 fois plus grande dans l'eau que dans l'air.

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À retenir

• Période $T$ : durée d'un cycle complet (en secondes). Fréquence $f = 1/T$ : nombre de cycles par seconde (en hertz, Hz)
• Longueur d'onde $\lambda$ : distance parcourue par l'onde pendant une période : $\lambda = v \times T = v / f$
• La fréquence est fixée par la source et ne change pas quand l'onde change de milieu
• La longueur d'onde dépend du milieu de propagation (via la vitesse $v$)
• Domaine audible humain : $20 \text{ Hz} < f < 20\,000 \text{ Hz}$

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