Mouvement rectiligne et chute libre

Vecteur vitesse et vecteur accélération

Vecteur vitesse

$$ \vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} $$

Dans un repère cartésien : $\vec{v} = \dot{x}\vec{i} + \dot{y}\vec{j}$

Vecteur accélération

$$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $$

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Mouvement rectiligne uniforme (MRU)

• $\vec{a} = \vec{0}$, donc $\vec{v} = \text{constante}$
• Position : $x(t) = x_0 + v \cdot t$

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Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)

• $\vec{a} = \text{constante}$
• Vitesse : $v(t) = v_0 + a \cdot t$
• Position : $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$

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Chute libre

On appelle chute libre le mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids (on néglige les frottements).

Équations du mouvement

En prenant l'axe $y$ vertical dirigé vers le haut, origine au point de lancement :

$$ a_x = 0 \quad ; \quad a_y = -g $$

$$ v_x(t) = v_{0x} \quad ; \quad v_y(t) = v_{0y} - g t $$

$$ x(t) = v_{0x} t \quad ; \quad y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2 $$

Chute libre verticale sans vitesse initiale

Si l'objet est lâché sans vitesse initiale ($v_0 = 0$) :
- $v(t) = g t$
- $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$ (distance parcourue vers le bas)

Exemple : temps de chute d'un objet lâché de $h = 20$ m :
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9{,}81}} \approx 2{,}0 \text{ s} $$

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Équations horaires avec vitesse initiale

Les équations de chute libre se généralisent au cas d'un lancer vertical (vitesse initiale $v_0$ vers le haut, axe vertical orienté vers le bas) :

$$v(t) = -v_0 + g \cdot t$$
$$y(t) = -v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2$$

La balle monte (vitesse positive vers le haut) tant que $v(t) > 0$, atteint son altitude maximale quand $v = 0$ (à $t_{montée} = v_0 / g$), puis redescend.

Indépendance de la masse en chute libre

En chute libre (sans frottements), tous les objets tombent avec la même accélération $g \approx 9{,}81$ m/s², indépendamment de leur masse. Galilée (1564–1642) l'a démontré expérimentalement en faisant rouler des billes de masses différentes sur un plan incliné. En 1971, l'astronaute David Scott a confirmé ce résultat sur la Lune en lâchant simultanément un marteau et une plume : les deux objets ont touché le sol lunaire en même temps, car il n'y a pas d'atmosphère pour freiner la plume.

Influence de la résistance de l'air

En réalité, l'air exerce une force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse : $f = \frac{1}{2} \rho_{air} \cdot C_x \cdot S \cdot v^2$. Cette résistance augmente avec la vitesse jusqu'à équilibrer le poids : l'objet atteint alors sa vitesse limite (environ 200 km/h pour un parachutiste en chute libre, 5 m/s parachute ouvert).

Exemples concrets

La chute libre depuis un pont

Un caillou lâché (sans vitesse initiale) depuis un pont situé à $h = 45$ m du sol tombe en chute libre. En négligeant les frottements de l'air, sa vitesse augmente de $9{,}81$ m/s chaque seconde. Au bout de 3 secondes, il atteint environ $v = 9{,}81 \times 3 = 29{,}4$ m/s, soit plus de 100 km/h.

$$h = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 45}{9{,}81}} \approx 3{,}03 \text{ s}$$

Le lancer vertical

Quand on lance une balle verticalement vers le haut avec une vitesse $v_0 = 15$ m/s, elle ralentit à raison de $9{,}81$ m/s par seconde (la pesanteur s'oppose au mouvement). Elle atteint son altitude maximale quand $v = 0$, puis redescend en accélérant.

$$t_{montée} = \frac{v_0}{g} = \frac{15}{9{,}81} \approx 1{,}53 \text{ s}$$
$$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{15^2}{2 \times 9{,}81} \approx 11{,}5 \text{ m}$$

Attention : En chute libre, tous les objets tombent avec la même accélération $g$, quelle que soit leur masse (en l'absence de frottement). C'est Galilée qui l'a montré expérimentalement.

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Exercice résolu

Énoncé : Une bille est lâchée sans vitesse initiale du haut d'une tour de hauteur $h = 80$ m. On prend $g = 9{,}81$ m/s² et on néglige les frottements.

1. Calculer la durée de la chute.
2. Calculer la vitesse de la bille juste avant l'impact au sol.
3. À quelle hauteur se trouve la bille après $t = 2{,}0$ s de chute ?

Solution :

Question 1 :
$$h = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 80}{9{,}81}} = \sqrt{16{,}3} \approx 4{,}04 \text{ s}$$

Question 2 :
$$v = g \cdot t = 9{,}81 \times 4{,}04 \approx 39{,}6 \text{ m/s} \approx 143 \text{ km/h}$$

Question 3 :
Distance parcourue en 2,0 s : $d = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 4{,}0 = 19{,}6$ m.
Hauteur restante : $h_{restante} = 80 - 19{,}6 = 60{,}4$ m.

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À retenir

• La chute libre est un mouvement sous l'action exclusive du poids ($\vec{F} = m\vec{g}$)
• Équations du mouvement vertical (axe vers le bas, $v_0 = 0$) : $v(t) = g \cdot t$ et $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$
• La durée de chute depuis une hauteur $h$ : $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
• La vitesse à l'impact : $v = \sqrt{2gh}$
• En chute libre, l'accélération est indépendante de la masse de l'objet

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