Lentilles convergentes et formation des images
Images et couleurs
Lentilles convergentes et formation des images
Lentille mince convergente
Une lentille convergente (bords minces) fait converger les rayons lumineux vers un point appelé foyer image $F'$.
Éléments caractéristiques
- Centre optique $O$ : les rayons passant par $O$ ne sont pas déviés
- Foyer objet $F$ : un rayon passant par $F$ ressort parallèle à l'axe
- Foyer image $F'$ : un rayon parallèle à l'axe converge vers $F'$
- Distance focale $f' = \overline{OF'}$ (en mètres)
- Vergence $V = \frac{1}{f'}$ (en dioptries, $\delta$)
Construction géométrique d'une image
Pour construire l'image $A'B'$ d'un objet $AB$, on utilise trois rayons passant par le point $B$ :
- Rayon parallèle à l'axe → passe par $F'$ après la lentille
- Rayon passant par le centre $O$ → non dévié
- Rayon passant par $F$ → ressort parallèle à l'axe
L'image $B'$ est à l'intersection de deux de ces rayons.
Relation de conjugaison
Pour une lentille mince de distance focale $f'$ :
$$ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} $$
avec la convention algébrique (distances orientées sur l'axe optique).
Grandissement
Le grandissement $\gamma$ caractérise le rapport de taille entre l'image et l'objet :
$$ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} $$
- $|\gamma| > 1$ : image agrandie
- $|\gamma| < 1$ : image réduite
- $\gamma > 0$ : image droite
- $\gamma < 0$ : image renversée
Types d'images
| Position de l'objet | Image |
|---|---|
| Objet au-delà de $2F$ | Réelle, renversée, réduite |
| Objet à $2F$ | Réelle, renversée, même taille |
| Objet entre $F$ et $2F$ | Réelle, renversée, agrandie |
| Objet au foyer $F$ | Pas d'image (rayons parallèles) |
| Objet entre $O$ et $F$ | Virtuelle, droite, agrandie (loupe) |
Types d'images formées
Le tableau suivant résume les caractéristiques de l'image selon la position de l'objet par rapport à une lentille convergente de distance focale $f'$ :
| Position de l'objet | Position de l'image | Nature | Sens | Taille |
|---|---|---|---|---|
| À l'infini | Au foyer image $F'$ | Réelle | — | Ponctuelle |
| Au-delà de $2f'$ | Entre $f'$ et $2f'$ | Réelle | Renversée | Réduite |
| À $2f'$ | À $2f'$ | Réelle | Renversée | Même taille |
| Entre $f'$ et $2f'$ | Au-delà de $2f'$ | Réelle | Renversée | Agrandie |
| Au foyer objet $F$ | À l'infini | — | — | — |
| Entre $O$ et $F$ | Du même côté | Virtuelle | Droite | Agrandie (loupe) |
Exemples concrets
L'oeil humain
L'oeil fonctionne comme un appareil photo : le cristallin est une lentille convergente de distance focale variable ($f' \approx 15$ à $17$ mm) qui forme une image renversée sur la rétine. Les muscles ciliaires modifient la courbure du cristallin pour accommoder (faire la mise au point) sur des objets à différentes distances. Quand le cristallin ne converge pas assez (image derrière la rétine), on est hypermétrope ; quand il converge trop (image devant la rétine), on est myope.
L'appareil photo
L'objectif d'un appareil photo possède une (ou plusieurs) lentille(s) convergente(s) de distance focale $f'$ qui forme une image réelle, renversée et réduite de l'objet sur le capteur. La mise au point consiste à ajuster la distance lentille–capteur pour que l'image soit nette. Un objectif de courte focale (grand angle) capture un champ large, tandis qu'un téléobjectif (longue focale) agrandit les objets éloignés.
Astuce : Pour les constructions géométriques, tracez toujours les trois rayons caractéristiques : (1) le rayon parallèle à l'axe, (2) le rayon passant par le centre optique, (3) le rayon passant par le foyer objet.
Exercice résolu
Énoncé : Un vidéoprojecteur utilise une lentille convergente de distance focale $f' = 15$ cm. L'écran est situé à $D = 3{,}0$ m de la lentille.
- Calculer la vergence de la lentille.
- En utilisant la relation de conjugaison, déterminer la position de la diapositive (objet).
- Calculer le grandissement. Si la diapositive mesure 24 mm de haut, quelle est la hauteur de l'image ?
Solution :
Question 1 :
$$C = \frac{1}{f'} = \frac{1}{0{,}15} \approx 6{,}7 \text{ dioptries (}\delta\text{)}$$
Question 2 :
Relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$
Avec $\overline{OA'} = +3{,}0$ m (image réelle) et $f' = 0{,}15$ m :
$$\frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{f'} = \frac{1}{3{,}0} - \frac{1}{0{,}15} = 0{,}333 - 6{,}667 = -6{,}333$$
$$\overline{OA} = \frac{1}{-6{,}333} \approx -0{,}158 \text{ m} \approx -15{,}8 \text{ cm}$$
La diapositive est à 15,8 cm de la lentille, du côté objet.
Question 3 :
$$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{3{,}0}{-0{,}158} \approx -19{,}0$$
Le grandissement est $\gamma \approx -19$ : l'image est 19 fois plus grande et renversée.
Hauteur de l'image : $|A'B'| = |\gamma| \times AB = 19{,}0 \times 24 = 456$ mm $\approx 46$ cm.
À retenir
- Vergence d'une lentille : $C = 1/f'$ (en dioptries, $\delta$, avec $f'$ en mètres)
- Relation de conjugaison (Descartes) : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$
- Grandissement : $\gamma = \overline{OA'} / \overline{OA}$ — si $|\gamma| > 1$ : image agrandie ; si $\gamma < 0$ : image renversée
- Image réelle ($\overline{OA'} > 0$) : peut être projetée sur un écran
- Image virtuelle ($\overline{OA'} < 0$) : ne peut pas être projetée (loupe, miroir)