Énergie potentielle de pesanteur

Définition

L'énergie potentielle de pesanteur est l'énergie que possède un objet du fait de sa position dans le champ de gravitation :

$$ E_{pp} = m g z $$

• $m$ : masse de l'objet (kg)
• $g$ : accélération de la pesanteur (m·s⁻²)
• $z$ : altitude par rapport à une référence choisie (m)

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Choix de la référence

L'énergie potentielle est définie à une constante près. Il faut choisir un niveau de référence où $E_{pp} = 0$.

Convention usuelle : on choisit le sol comme référence ($z = 0$).

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Lien avec le travail du poids

Le travail du poids est lié à la variation d'énergie potentielle :

$$ W_{AB}(\vec{P}) = -(E_{pp}(B) - E_{pp}(A)) = -\Delta E_{pp} $$

• Si l'objet descend : $\Delta E_{pp} < 0$ et $W > 0$ (le poids est moteur)
• Si l'objet monte : $\Delta E_{pp} > 0$ et $W < 0$ (le poids est résistant)

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Force conservative

Le poids est une force conservative car son travail ne dépend que des positions initiale et finale, pas du chemin suivi. L'énergie potentielle de pesanteur est l'énergie potentielle associée au poids.

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Diagramme d'énergie potentielle

On peut représenter graphiquement l'énergie potentielle de pesanteur en fonction de l'altitude $h$. C'est une droite de pente positive : $E_{pp} = m \cdot g \cdot h$.

Sur un tel diagramme, on peut placer une droite horizontale représentant l'énergie mécanique $E_m$. La différence entre $E_m$ et $E_{pp}(h)$ donne l'énergie cinétique à chaque altitude :

$$E_c(h) = E_m - E_{pp}(h) = E_m - mgh$$

L'altitude maximale accessible est atteinte lorsque $E_c = 0$, soit $h_{max} = E_m / (mg)$. Au-delà de cette altitude, l'énergie cinétique serait négative, ce qui est physiquement impossible : c'est une zone interdite.

Travail du poids et variation de $E_{pp}$

Le travail du poids est directement lié à la variation d'énergie potentielle :

$$W(\vec{P}) = -\Delta E_{pp} = -(E_{pp,f} - E_{pp,i}) = E_{pp,i} - E_{pp,f}$$

Quand un objet descend ($\Delta E_{pp} < 0$), le travail du poids est positif (moteur). Quand il monte ($\Delta E_{pp} > 0$), le travail du poids est négatif (résistant). Cette relation est générale pour toutes les forces conservatives.

Exemples concrets

Un barrage hydroélectrique

Dans un barrage, l'eau est retenue en altitude (par exemple $h = 150$ m au-dessus des turbines). Un volume de $V = 1$ m³ d'eau ($m = 1\,000$ kg) stocke une énergie potentielle de pesanteur :
$$E_{pp} = m \cdot g \cdot h = 1\,000 \times 9{,}81 \times 150 = 1{,}47 \times 10^6 \text{ J} \approx 1{,}5 \text{ MJ}$$

En tombant, cette eau convertit son énergie potentielle en énergie cinétique qui fait tourner les turbines, puis en énergie électrique. C'est le principe de l'hydroélectricité.

Les montagnes russes

Au sommet d'une montagne russe ($h = 40$ m), un wagon de $m = 500$ kg possède une énergie potentielle $E_{pp} = 500 \times 9{,}81 \times 40 \approx 196\,000$ J. En descendant, cette énergie se transforme en énergie cinétique, donnant de la vitesse au wagon. Plus le sommet est haut, plus la vitesse en bas sera grande (en l'absence de frottements).

Attention : L'énergie potentielle de pesanteur dépend du choix de l'origine des altitudes (référence $h = 0$). Seules les variations d'énergie potentielle ont un sens physique absolu.

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Exercice résolu

Énoncé : Un skieur de masse $m = 70$ kg se trouve au sommet d'une piste ($h = 200$ m au-dessus du bas de la piste, pris comme référence $h = 0$).

1. Calculer son énergie potentielle de pesanteur au sommet.
2. Quelle est son énergie potentielle au bas de la piste ?
3. Quelle variation d'énergie potentielle subit-il en descendant toute la piste ?
4. Sous quelle forme cette énergie perdue se retrouve-t-elle (en première approximation) ?

Solution :

Question 1 :
$$E_{pp,haut} = m \cdot g \cdot h = 70 \times 9{,}81 \times 200 = 1{,}37 \times 10^5 \text{ J} \approx 137 \text{ kJ}$$

Question 2 :
Au bas de la piste, $h = 0$ donc $E_{pp,bas} = 0$ J.

Question 3 :
$$\Delta E_{pp} = E_{pp,bas} - E_{pp,haut} = 0 - 137 = -137 \text{ kJ}$$

L'énergie potentielle a diminué de 137 kJ.

Question 4 :
En l'absence de frottements, cette énergie se transforme intégralement en énergie cinétique. Avec frottements, une partie se transforme en chaleur (énergie thermique dissipée dans la neige et l'air).

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À retenir

• L'énergie potentielle de pesanteur : $E_{pp} = m \cdot g \cdot h$ (avec $h$ : altitude par rapport à la référence choisie)
• Elle dépend d'un choix d'origine ; seule la variation $\Delta E_{pp}$ a un sens physique
• Quand un objet descend, son $E_{pp}$ diminue (elle est transférée sous forme d'énergie cinétique ou de chaleur)
• Quand un objet monte, son $E_{pp}$ augmente (il faut fournir un travail)
• L'énergie potentielle est l'énergie « stockée » du fait de la position de l'objet dans un champ de pesanteur

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