Énergie mécanique et conservation

Définition

L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur :

$$ E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + m g z $$

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Conservation de l'énergie mécanique

Si un système n'est soumis qu'à des forces conservatives (poids) et à des forces qui ne travaillent pas (réaction normale) :

$$ E_m = \text{constante} \quad \Leftrightarrow \quad \Delta E_m = 0 $$

En chute libre

$$ \frac{1}{2} m v_A^2 + m g z_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g z_B $$

Exemple : Un objet lâché sans vitesse initiale de $h = 10$ m. Quelle est sa vitesse au sol ?

$$ m g h = \frac{1}{2} m v^2 \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 10} \approx 14 \text{ m\cdot s}^{-1} $$

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Non-conservation de l'énergie mécanique

En présence de forces non conservatives (frottements) :

$$ \Delta E_m = W_{nc} $$

où $W_{nc}$ est le travail des forces non conservatives.

• Les frottements dissipent de l'énergie mécanique sous forme de chaleur (énergie thermique)
• $\Delta E_m < 0$ : l'énergie mécanique diminue

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Diagramme d'énergie

Un diagramme représentant $E_c$, $E_{pp}$ et $E_m$ en fonction de la position ou du temps permet de visualiser les transferts d'énergie.

• En chute libre : quand $E_{pp}$ diminue, $E_c$ augmente d'autant
• Avec frottements : $E_m$ diminue progressivement

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Non-conservation et théorème de l'énergie mécanique

En présence de forces non conservatives (frottements, résistance de l'air), l'énergie mécanique n'est plus conservée. Le théorème de l'énergie mécanique s'écrit alors :

$$\Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i} = W_{nc}$$

où $W_{nc}$ est le travail des forces non conservatives. Comme les frottements sont des forces résistantes, $W_{nc} < 0$ et l'énergie mécanique diminue. L'énergie « perdue » est en réalité transférée sous forme d'énergie thermique (échauffement) et parfois de déformation.

Diagramme de conversion d'énergie

Pour un objet en chute libre (sans frottements) :

Position	$E_{pp}$	$E_c$	$E_m$
En haut	Maximale	Nulle	Constante
À mi-hauteur	$E_m / 2$	$E_m / 2$	Constante
En bas	Nulle	Maximale	Constante

L'énergie potentielle « perdue » est intégralement convertie en énergie cinétique. Ce transfert est réversible (le pendule repart vers le haut) tant qu'il n'y a pas de frottements.

Exemples concrets

Le pendule simple

Un pendule simple illustre parfaitement la conservation de l'énergie mécanique. Quand la bille est en position haute, elle possède un maximum d'énergie potentielle et un minimum d'énergie cinétique (vitesse nulle aux extrémités). En position basse, toute l'énergie potentielle s'est convertie en énergie cinétique (vitesse maximale). L'énergie mécanique totale $E_m = E_c + E_{pp}$ reste constante si l'on néglige les frottements.

Le saut à l'élastique

Lors d'un saut à l'élastique depuis un pont, le sauteur transforme d'abord son énergie potentielle en énergie cinétique (chute libre). Quand l'élastique se tend, il stocke l'énergie sous forme d'énergie potentielle élastique. En réalité, à chaque oscillation, les frottements internes de l'élastique dissipent une partie de l'énergie mécanique sous forme de chaleur, d'où l'amortissement progressif.

Attention : La conservation de l'énergie mécanique ne s'applique que lorsque les forces de frottements sont négligeables. En présence de frottements, $E_m$ diminue au cours du temps.

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Exercice résolu

Énoncé : Une bille de masse $m = 200$ g est lâchée sans vitesse initiale du haut d'un toboggan de hauteur $h = 5{,}0$ m. On néglige les frottements.

1. Calculer l'énergie mécanique de la bille en haut du toboggan (référence : bas du toboggan).
2. En déduire la vitesse de la bille en bas du toboggan.
3. À quelle hauteur se trouve la bille lorsque sa vitesse vaut $v_1 = 6{,}0$ m/s ?

Solution :

Question 1 :
En haut : $v = 0$ donc $E_c = 0$ ; $E_{pp} = m g h = 0{,}200 \times 9{,}81 \times 5{,}0 = 9{,}81$ J.
$$E_m = E_c + E_{pp} = 0 + 9{,}81 = 9{,}81 \text{ J}$$

Question 2 :
En bas : $h = 0$ donc $E_{pp} = 0$ ; par conservation, $E_m = E_c = \frac{1}{2} m v^2$.
$$v = \sqrt{\frac{2 E_m}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 9{,}81}{0{,}200}} = \sqrt{98{,}1} \approx 9{,}9 \text{ m/s}$$

Question 3 :
Par conservation : $E_m = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h_1$
$$h_1 = \frac{E_m - \frac{1}{2} m v_1^2}{mg} = \frac{9{,}81 - \frac{1}{2} \times 0{,}200 \times 36}{0{,}200 \times 9{,}81} = \frac{9{,}81 - 3{,}60}{1{,}962} \approx 3{,}2 \text{ m}$$

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À retenir

• L'énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^2 + m g h$
• Conservation : si les forces de frottement sont négligeables, $E_m$ reste constante au cours du mouvement
• En présence de frottements, $E_m$ diminue : l'énergie est transférée sous forme thermique
• L'énergie mécanique permet de relier vitesse et altitude sans connaître la trajectoire exacte
• La formule $v = \sqrt{2gh}$ (chute libre sans vitesse initiale) découle directement de la conservation de $E_m$

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