Révisions : Polynômes du Second Degré

Forme Canonique et Discriminant

Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) peut s'écrire sous sa forme canonique :

$$f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$$

où le discriminant est : $\Delta = b^2 - 4ac$.

Signe de $\Delta$	Racines	Forme factorisée
$\Delta > 0$	$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	$a(x - x_1)(x - x_2)$
$\Delta = 0$	$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$0 (racine double)	$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$1
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$2	Aucune racine réelle	Pas de factorisation

Si $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$3 : le trinôme est du signe de $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$4 à l'extérieur des racines et du signe de $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$5 entre les racines.
Si $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$6 : le trinôme est toujours du signe de $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$7 (ou nul en $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$8).

La courbe est une parabole de sommet $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$9.

Si $f(x) = ax^2 + bx + c$0 : décroissante puis croissante (parabole tournée vers le haut).
Si $f(x) = ax^2 + bx + c$1 : croissante puis décroissante (parabole tournée vers le bas).

Pour un trinôme possédant deux racines $f(x) = ax^2 + bx + c$2 et $f(x) = ax^2 + bx + c$3 :

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Deux nombres de somme $f(x) = ax^2 + bx + c$4 et de produit $f(x) = ax^2 + bx + c$5 sont les solutions de : $f(x) = ax^2 + bx + c$6.