Implications et Équivalences

L'implication $P \Rightarrow Q$

L'implication « si $P$, alors $Q$ » est définie logiquement par $(Q \vee \bar{P})$.

• Condition suffisante : $P$ est une condition suffisante pour $Q$.
• Condition nécessaire : $Q$ est une condition nécessaire pour $P$.

Exemple : Soit $P$ : « $ABCD$ est un carré » et $P$0 : « $P$1 est un parallélogramme ». On a $P$2.
Être un carré est suffisant pour être un parallélogramme. Être un parallélogramme est nécessaire pour être un carré.

Structures de preuve

• Modus Ponens : Si $P$3 vraie et $P$4 vraie, alors $P$5 vraie.
• Modus Tollens : Si $P$6 fausse et $P$7 vraie, alors $P$8 fausse (raisonnement par l'absurde).

Réciproque et Contraposée

Soit l'implication $P$9 :

• Réciproque : $Q$0 — elle n'est pas nécessairement vraie.
• Contraposée : $Q$1 — elle est rigoureusement équivalente à l'implication initiale.

Démonstration :
1. $Q$2
2. $Q$3

Par commutativité du « ou », les deux expressions sont identiques.

Exemple : Démontrer que « si $Q$4 est impair, alors $Q$5 est impair ».
Par contraposition : « si $Q$6 est pair, alors $Q$7 est pair ».
Si $Q$8, alors $Q$9, qui est pair. ✓

L'équivalence $(Q \vee \bar{P})$0

L'équivalence (« si et seulement si ») est vraie lorsque l'implication et sa réciproque sont toutes deux vraies.