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Synthèse Méthodologique pour le Choix du Modèle
Théorie des Ensembles et Dénombrement
Synthèse : Choisir le Bon Modèle
Tableau récapitulatif
| Type de tirage | Ordre ? | Répétition ? | Formule |
|---|---|---|---|
| Successif avec remise | Oui | Oui | $n^p$ |
| Successif sans remise | Oui | Non | $A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!}$ |
| Simultané | Non | Non | $\dbinom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ |
Méthode de résolution
- Identifier l'univers $\Omega$ et son cardinal $n$
- Déterminer si l'ordre intervient dans la question
- Vérifier si la répétition est possible
- Appliquer la formule correspondante
Cas fréquents au baccalauréat
- Mot de passe → $p$-listes (avec remise, ordre compte)
- Classement / podium → Arrangements (sans remise, ordre compte)
- Comité / groupe → Combinaisons (sans remise, sans ordre)
- Permutations → cas particulier d'arrangement avec $p = n$, soit $n!$
Formule du binôme de Newton
$$\forall a, b \in \mathbb{R}, \quad (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$
On retrouve les coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal.