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Opérations Algébriques sur les Parties d'un Ensemble
Théorie des Ensembles et Dénombrement
Opérations sur $\mathcal{P}(\Omega)$
Définition
Soit $\Omega$ un ensemble de référence. L'ensemble de toutes les parties de $\Omega$ est noté $\mathcal{P}(\Omega)$. Les opérations $\cap$ et $\cup$ lui confèrent une structure algébrique.
Propriétés fondamentales
Pour tous $F, G, H \in \mathcal{P}(\Omega)$ :
- Commutativité : $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$0 et $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$1
- Associativité : $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$2 et $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$3
- Distributivité :
- $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$4
- $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$5
Éléments neutres
- $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$6 est neutre pour l'intersection : $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$7
- $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$8 est neutre pour l'union : $$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$9
Lois de Morgan
$$\overline{F \cup G} = \bar{F} \cap \bar{G}$$
$$\overline{F \cap G} = \bar{F} \cup \bar{G}$$
Justification logique :
- $$|A| = |\Omega| - |\bar{A}|$$0
- $$|A| = |\Omega| - |\bar{A}|$$1
Application au dénombrement
Le passage au complémentaire permet de dénombrer par soustraction :
$$|A| = |\Omega| - |\bar{A}|$$
C'est la méthode de l'événement contraire.