Notions Préliminaires au Dénombrement

Préliminaires au Dénombrement

Parties et complémentarité

Une partie $A$ de $\Omega$ est un sous-ensemble tel que $\forall x,\; x \in A \Rightarrow x \in \Omega$.

Le passage au complémentaire permet de dénombrer par soustraction :

$$|A| = |\Omega| - |\bar{A}|$$

Cardinal d'une union (formule d'inclusion-exclusion)

Pour deux ensembles :

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Pour trois ensembles :

$$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$

Produit cartésien

Le produit cartésien de $n$ ensembles est l'ensemble des $n$-uplets ordonnés :

$$\Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n = \{(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n) \mid \omega_i \in \Omega_i\}$$

Cardinal :

$$|\Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n| = |\Omega_1| \times |\Omega_2| \times \cdots \times |\Omega_n|$$

Exemples

• Géométrique : si $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$0 et $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$1 sont des intervalles, $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$2 est un rectangle du plan.
• Expériences répétées : lancer un dé 3 fois revient à considérer $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$3, de cardinal $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$4.