Méthodes de Tirages : p-listes, Arrangements, Combinaisons
Théorie des Ensembles et Dénombrement
Les Trois Modèles de Tirage
Tirages successifs avec remise : $p$-listes
Un tirage successif avec remise de $p$ éléments parmi $n$ est un élément du produit cartésien $\Omega^p$ :
- L'ordre est pris en compte
- La répétition est autorisée
$$\text{Nombre de } p\text{-listes} = n^p$$
Exemple : codes à 4 chiffres parmi $\{0, 1, \ldots, 9\}$ → $10^4 = 10\,000$ codes.
Tirages successifs sans remise : Arrangements
Un arrangement de $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$0 éléments parmi $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$1 est une séquence ordonnée sans répétition :
- L'ordre est pris en compte
- La répétition est exclue
$$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$
Exemple : podium de 3 coureurs parmi 10 → $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$2.
Tirages simultanés : Combinaisons
Un tirage simultané de $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$3 éléments parmi $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$4 revient à choisir une partie de cardinal $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$5 :
- L'ordre n'intervient pas
- La répétition est impossible
$$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} = \frac{A_n^p}{p!}$$
Exemple : choisir 3 délégués parmi 10 → $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$6.
Lien entre les modèles
$$\binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!}$$
On « divise » les arrangements par $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)$$7 car l'ordre n'importe plus.