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La Factorielle et l'Analyse Combinatoire
Théorie des Ensembles et Dénombrement
La Factorielle
Définition
Pour tout entier naturel $n$ :
$$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$$
Par convention : $0! = 1$.
Premières valeurs
| $n$ | $n!$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 10 | 3 628 800 |
Interprétation combinatoire
$n!$ est le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments, c'est-à-dire le nombre de manières d'ordonner $n$ objets distincts.
Relation de récurrence
$$n! = n \times (n-1)!$$
Coefficient binomial
Le nombre de manières de choisir $$n! = n \times (n-1)!$$0 éléments parmi $$n! = n \times (n-1)!$$1 (sans ordre) est :
$$\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$
Propriétés du coefficient binomial
- Symétrie : $$n! = n \times (n-1)!$$2
- Cas extrêmes : $$n! = n \times (n-1)!$$3
- Formule de Pascal : $$n! = n \times (n-1)!$$4