Suites de Matrices Colonnes

Modèle $U_{n+1} = AU_n + B$

Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes.

Cas homogène ($B = 0$)

$$U_{n+1} = AU_n \implies U_n = A^n U_0$$

Cas général ($B \neq 0$)

1. On cherche l'état stable (point fixe) $\Omega$ tel que $\Omega = A\Omega + B$.
2. On résout $(I - A)\Omega = B$ pour obtenir $\Omega$.
3. On pose $V_n = U_n - \Omega$, ce qui donne la suite géométrique : $V_n = A^n V_0$.
4. Terme général : $U_n = A^n(U_0 - \Omega) + \Omega$.

Suites couplées

Le formalisme matriciel résout les systèmes de suites.

Exemple : si $u_{n+1} = 3u_n - v_n$ et $v_{n+1} = -2u_n + 2v_n$, on pose :

$$U_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$

d'où $U_n = A^n U_0$.

Recherche de l'état stable

Pour trouver $\Omega$, résoudre $(I-A)\Omega = B$ :
- Si $(I-A)$ est inversible : $\Omega = (I-A)^{-1}B$.