Propriétés Globales des Suites

Vocabulaire de l'ordre

Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

• Suite majorée : $\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le M$
• Suite minorée : $\exists m \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \ge m$
• Suite bornée : elle est à la fois majorée et minorée.

Sens de variation (Monotonie)

Deux méthodes principales :

Étude du signe de la différence

Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.

Comparaison du quotient à 1

Pour une suite à termes strictement positifs ($u_n > 0$) :
- Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ : suite croissante
- Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ : suite décroissante

Représentation graphique

Pour une suite $u_{n+1} = f(u_n)$, on utilise la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta : y = x$ :

1. Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses
2. Rejoindre verticalement $\mathcal{C}_f$ pour obtenir $u_1$ en ordonnée
3. Rejoindre horizontalement $\Delta$ pour reporter $u_1$ sur l'axe des abscisses
4. Répéter (construction en « escalier » ou en « spirale »)