Limites et Théorèmes de Convergence

Définition de la convergence

Une suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$$

Théorème des Gendarmes

Si $v_n \le u_n \le w_n$ à partir d'un certain rang et si :

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l$$

alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$.

Comparaison à l'infini

Si $u_n \ge v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.

Théorème de convergence monotone

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :
- $(u_n)$ est croissante
- $(v_n)$ est décroissante
- $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$

Propriété : Elles convergent vers une limite commune $l$ telle que $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n \le l \le v_n$.