Introduction et Modes de Génération

Définitions et Vocabulaire

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie) à valeurs dans $\mathbb{R}$.

• Notation : $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ désigne la suite, $u_n$ est le terme de rang $n$.

Modes de définition

Définition explicite

$u_n$ est exprimé directement en fonction de $n$ : $u_n = f(n)$.

Exemple : $u_n = \frac{n^2}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$.

Définition par récurrence

Le terme $u_{n+1}$ est défini en fonction de $u_n$ : $u_{n+1} = f(u_n)$, avec la donnée d'un premier terme $u_0$.

Le Raisonnement par Récurrence (rappel)

Pour démontrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout $n \ge n_0$ :

1. Initialisation : Vérifier $P_{n_0}$.
2. Hérédité : Supposer $P_k$ vraie, démontrer $P_{k+1}$.
3. Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \ge n_0$.

Exemple : Inégalité de Bernoulli

Pour tout $\alpha \ge -1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$(1 + \alpha)^n \ge 1 + n\alpha$$

Lors de l'hérédité, la multiplication par $(1+\alpha)$ préserve le sens car $1+\alpha \ge 0$.