Exercices d'Application — Méthodes

Méthode 1 : Raisonnement par l'absurde

Énoncé : Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $6n+5$ n'est pas divisible par 3.

1. Supposition : Supposons qu'il existe $n$ tel que 3 divise $6n+5$.
2. Traduction : $\exists k \in \mathbb{Z},\ 6n+5 = 3k$.
3. Contradiction : $5 = 3k - 6n = 3(k-2n)$, donc 3 diviserait 5 — absurde.
4. Conclusion : $6n+5$ n'est jamais divisible par 3.

Méthode 2 : Étude de parité et périodicité

Soit $f(x) = \cos(2x) - \frac{1}{2}$.

• Parité : $f(-x) = \cos(-2x) - \frac{1}{2} = f(x)$ → fonction paire.
• Périodicité : $f(x+\pi) = \cos(2x+2\pi) - \frac{1}{2} = f(x)$ → $\pi$-périodique.

Méthode 3 : Résolution par matrices

Pour l'état stable $\Omega$ du système $U_{n+1} = AU_n + B$ :

1. Poser $(I-A)\Omega = B$
2. Si $(I-A)$ inversible : $\Omega = (I-A)^{-1}B$
3. Cette limite représente les valeurs vers lesquelles tendent les suites couplées.