La Loi Exponentielle
Probabilités — Lois à Densité
Loi Exponentielle
Définition
$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$ si sa densité est :
$$f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x}$$
Fonction de répartition
$$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$
D'où : $$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$0
Espérance
$$E(X) = \frac{1}{\lambda}$$
Propriété d'absence de mémoire
Pour tous $$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$1 :
$$P_{X \geq t}(X \geq t + h) = P(X \geq h)$$
Interprétation : la probabilité qu'un composant survive encore $$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$2 heures ne dépend pas du temps $$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$3 déjà écoulé. C'est un modèle de « durée de vie sans vieillissement ».
Raccourci utile
$$P_{X \geq a}(X \geq b) = P(X \geq b - a) \quad (b > a)$$
Exemple d'application
Durée de vie $$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$4. Sachant $$F(x) = P(X \leq x) = \int_0^x \lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = \left[-e^{-\lambda t}\right]_0^x = 1 - e^{-\lambda x}$$5, probabilité de panne avant 300 heures :
$$P_{X \geq 200}(X \leq 300) = 1 - P_{X \geq 200}(X > 300) = 1 - P(X > 100) = P(X \leq 100)$$
$$= 1 - e^{-0{,}35} \approx 1 - 0{,}705 \approx 0{,}3$$
Il y a environ 30 % de chances de défaillance.