Introduction aux Variables Aléatoires Continues
Probabilités — Lois à Densité
Du Discret au Continu
Variables aléatoires discrètes (rappel)
- L'univers $\Omega$ est fini (ex : six faces d'un dé)
- La loi est définie par un tableau : chaque valeur $x_i$ a une probabilité $P(X = x_i)$
- $\displaystyle\sum P(X = x_i) = 1$
Le passage au continu
De nombreux phénomènes ne se prêtent pas au découpage discret.
Exemple : la durée de vie $X$ d'un disque dur peut prendre toute valeur dans $[0\,;\,+\infty[$. La probabilité d'une valeur exacte (ex : exactement 5000,000... heures) est quasi nulle.
La transition vers l'intégrale
Dans le cadre continu :
- La probabilité n'est plus associée à une valeur isolée mais à un intervalle
- On passe d'une logique de sommation ($\sum$) à une logique de mesure d'aire sous une courbe ($\int$)
- L'outil fondamental est la fonction de densité
Conséquence fondamentale
Pour toute variable aléatoire continue $$P(c \leq X \leq d) = P(c < X < d) = P(c \leq X < d) = P(c < X \leq d)$$0 et tout réel $$P(c \leq X \leq d) = P(c < X < d) = P(c \leq X < d) = P(c < X \leq d)$$1 :
$$P(X = c) = 0$$
Les inégalités strictes ou larges donnent le même résultat :
$$P(c \leq X \leq d) = P(c < X < d) = P(c \leq X < d) = P(c < X \leq d)$$