Généralités sur les Fonctions de Densité

Fonctions de Densité

Définition

Une fonction de densité est une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ vérifiant :

1. Continuité : $f$ est continue sur $I$
2. Positivité : $\forall x \in I,\; f(x) \geq 0$
3. Normalisation : $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$

Calcul de probabilité

Si $X$ est une variable aléatoire continue de densité $f$ sur $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$0 :

$$P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f(t)\,dt$$

Méthode de vérification

Pour prouver que $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$1 est une densité sur $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$2 :

1. Continuité : citer le type de fonction (polynomiale, exponentielle…)
2. Positivité : étudier le signe de $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$3 sur $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$4
3. Intégrale : calculer $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$5 et vérifier qu'elle vaut 1

Exemple

Démontrer que $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$6 est une densité sur $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$7.

• Continuité : $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$8 est affine, donc continue sur $$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$9
• Positivité : sur $f$0, $f$1
• Intégrale :

$$\int_2^4 (0{,}5t - 1)\,dt = \left[0{,}25t^2 - t\right]_2^4 = (4 - 4) - (1 - 2) = 0 - (-1) = 1 \quad \checkmark$$