Fonction de Répartition, Espérance et Variance

Indicateurs d'une Loi Continue

Fonction de répartition

Pour $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$, la fonction de répartition $F$ est :

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$0 est croissante, continue, avec $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$1 et $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$2. De plus, $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$3.

Espérance

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$

C'est la valeur moyenne théorique de la variable $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$4.

Variance

$$V(X) = \int_a^b (t - E(X))^2\,f(t)\,dt = \int_a^b t^2\,f(t)\,dt - [E(X)]^2$$

L'écart-type est $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$5.

Exemple : production de dalles

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$6 (tonnes) suit la densité $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$7 sur $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$8.

Probabilité $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$9 :

$$P(X \geq 12) = \int_{12}^{20} (0{,}015t - 0{,}00075t^2)\,dt = \left[0{,}0075t^2 - 0{,}00025t^3\right]_{12}^{20}$$

$$= 1 - 0{,}648 = 0{,}352$$

Espérance :

$$E(X) = \int_0^{20} t(0{,}015t - 0{,}00075t^2)\,dt = \left[0{,}005t^3 - 0{,}0001875t^4\right]_0^{20} = 40 - 30 = 10 \text{ tonnes}$$