Indépendance de Variables Aléatoires et Échantillons

Variables Aléatoires et Échantillons

Échantillon

Un échantillon de taille $n$ est une suite de variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n$ :

Indépendantes entre elles
Suivant toutes la même loi que la variable $X$

Variable aléatoire moyenne

$$M_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$$

Propriétés de $M_n$

Propriété	Variable $X$	Moyenne $M_n$
Espérance	$E(X)$	$E(M_n) = E(X)$
Variance	$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$0	$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$1
Écart-type	$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$2	$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$3

Exemple : Bernoulli de paramètre $$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$4

Pour $$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$5 (moyenne de deux lancers), les valeurs possibles sont $$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$6 :

$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$7	$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$8	$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$9	$n$0
$n$1	$n$2	$n$3	$n$4

$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$

Interprétation

L'espérance de $n$5 est inchangée par rapport à $n$6
La variance diminue en $n$7 : plus l'échantillon est grand, plus $n$8 est concentrée autour de $n$9