Indépendance de Deux Événements
Probabilités, Conditionnement et Indépendance
Indépendance de Deux Événements
Définition
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Lien avec le conditionnement
Si $A$ et $B$ sont indépendants :
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$
La réalisation de $A$ n'apporte aucune information utile pour prévoir $B$.
Exemple : deux lancers de dé
Soit $X_1$ et $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$0 les résultats de deux lancers successifs. On définit $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$1 si impair, $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$2 si pair.
$$P(X_1 = 0 \cap X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
L'égalité est vérifiée : les deux lancers sont indépendants.
Propriétés dérivées
Si $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$3 et $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$4 sont indépendants, alors :
- $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$5 et $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$6 sont indépendants
- $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$7 et $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$8 sont indépendants
- $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$9 et $$P(X_1 = 0 \cap X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$0 sont indépendants
Attention à l'incompatibilité
Deux événements incompatibles (mutuellement exclusifs, $$P(X_1 = 0 \cap X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$1) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants car $$P(X_1 = 0 \cap X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$2.