Formule des Probabilités Totales et Variables Aléatoires

Probabilités Totales et Variables Aléatoires

Formule des probabilités totales

Si $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ forme un système complet d'événements (partition de l'univers), alors pour tout événement $B$ :

$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$$

Variable aléatoire discrète — Loi de Bernoulli

Lancer un dé équilibré. $X = 1$ si le résultat est pair, $X = 0$ sinon.

$$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$.

Variable aléatoire continue — Densité

Une fonction $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$0 définie sur un intervalle $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$1 est une densité de probabilité si :

1. $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$2 est continue et positive sur $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$3
2. $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$4

Pour tout $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$5 : $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$6.

Espérance d'une variable continue

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$

Exemple : dalles en plâtre

Masse $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$7 (en tonnes) de densité $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$8 sur $$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$9.

Vérification : $$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$0 ✓

Espérance :

$$E(X) = \int_0^{20} t(0{,}015t - 0{,}00075t^2)\,dt = \left[0{,}005t^3 - 0{,}0001875t^4\right]_0^{20} = 40 - 30 = 10 \text{ tonnes}$$