Probabilités Conditionnelles

Probabilités Conditionnelles

Définition

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement $B$, la probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, est :

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Le conditionnement par $A$ correspond à une restriction de l'univers : $A$ devient le nouvel univers de référence.

Formule des probabilités composées

$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$$

Absence de mémoire (loi exponentielle)

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

Théorème : pour tous réels $t, h > 0$ :

$$P_{X \geq t}(X \geq t+h) = P(X \geq h)$$

Démonstration :

$$P_{X \geq t}(X \geq t+h) = \frac{P(X \geq t+h)}{P(X \geq t)} = \frac{e^{-\lambda(t+h)}}{e^{-\lambda t}} = e^{-\lambda h} = P(X \geq h)$$

Exemple

La durée de vie $X$ d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}0035$.

Calculons $P_{X \geq 200}(X \leq 300)$ :

$$P_{X \geq 200}(X \leq 300) = 1 - P_{X \geq 200}(X > 300) = 1 - P(X > 100) = P(X \leq 100)$$

$$= 1 - e^{-0{,}35} \approx 1 - 0{,}705 \approx 0{,}295$$