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Indépendance de Variables Aléatoires et Échantillons
Probabilités, Conditionnement et Indépendance
Variables Aléatoires et Échantillons
Échantillon
Un échantillon de taille $n$ est une suite de variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n$ :
- Indépendantes entre elles
- Suivant toutes la même loi que la variable $X$
Variable aléatoire moyenne
$$M_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$$
Propriétés de $M_n$
| Propriété | Variable $X$ | Moyenne $M_n$ |
|---|---|---|
| Espérance | $E(X)$ | $E(M_n) = E(X)$ |
| Variance | $V(X)$ | $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ |
| Écart-type | $\sigma(X)$ | $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$ |
Exemple : Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$
Pour $M_2$ (moyenne de deux lancers), les valeurs possibles sont $\{0\,;\, 0{,}5\,;\, 1\}$ :
| $k$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ |
|---|---|---|---|
| $P(M_2 = k)$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ |
$$E(M_2) = 0 \times \frac{1}{4} + 0{,}5 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} = 0{,}5 = E(X) \quad \checkmark$$
Interprétation
- L'espérance de $M_n$ est inchangée par rapport à $E(X)$
- La variance diminue en $\frac{1}{n}$ : plus l'échantillon est grand, plus $M_n$ est concentrée autour de $E(X)$