Indépendance de Deux Événements
Probabilités, Conditionnement et Indépendance
Indépendance de Deux Événements
Définition
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Lien avec le conditionnement
Si $A$ et $B$ sont indépendants :
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$$
La réalisation de $A$ n'apporte aucune information utile pour prévoir $B$.
Exemple : deux lancers de dé
Soit $X_1$ et $X_2$ les résultats de deux lancers successifs. On définit $X_i = 0$ si impair, $X_i = 1$ si pair.
$$P(X_1 = 0 \cap X_2 = 0) = P(X_1 = 0) \times P(X_2 = 0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$
L'égalité est vérifiée : les deux lancers sont indépendants.
Propriétés dérivées
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors :
- $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants
- $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants
- $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants
Attention à l'incompatibilité
Deux événements incompatibles (mutuellement exclusifs, $A \cap B = \emptyset$) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants car $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B)$.