Formule des Probabilités Totales et Variables Aléatoires

Probabilités Totales et Variables Aléatoires

Formule des probabilités totales

Si $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ forme un système complet d'événements (partition de l'univers), alors pour tout événement $B$ :

$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$$

Variable aléatoire discrète — Loi de Bernoulli

Lancer un dé équilibré. $X = 1$ si le résultat est pair, $X = 0$ sinon.

$$P(X = 1) = \frac{|\{2,4,6\}|}{6} = 0{,}5$$

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$.

Variable aléatoire continue — Densité

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est une densité de probabilité si :

1. $f$ est continue et positive sur $I$
2. $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = 1$

Pour tout $k \in I$ : $P(X = k) = \displaystyle\int_k^k f(t)\,dt = 0$.

Espérance d'une variable continue

$$E(X) = \int_a^b t\,f(t)\,dt$$

Exemple : dalles en plâtre

Masse $X$ (en tonnes) de densité $f(x) = 0{,}015x - 0{,}00075x^2$ sur $[0\,;\,20]$.

Vérification : $\displaystyle\int_0^{20} f(t)\,dt = \left[0{,}0075t^2 - 0{,}00025t^3\right]_0^{20} = 3 - 2 = 1$ ✓

Espérance :

$$E(X) = \int_0^{20} t(0{,}015t - 0{,}00075t^2)\,dt = \left[0{,}005t^3 - 0{,}0001875t^4\right]_0^{20} = 40 - 30 = 10 \text{ tonnes}$$