Racines n-ièmes de l'Unité

Racines n-ièmes

Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n = 1$ sont :

$$\omega_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$$

Démonstration :
1. On pose $z = e^{i\theta}$, l'équation devient $e^{in\theta} = e^{i \cdot 0}$
2. Donc $n\theta = 2k\pi$, soit $\theta_k = \dfrac{2k\pi}{n}$
3. Il y a exactement $n$ valeurs distinctes pour $k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$

Interprétation géométrique

Les points d'affixe $\omega_k$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés, inscrit dans le cercle unité, avec un sommet en $1$.

Propriétés

• $\omega_0 = 1$
• $\omega_1 = e^{i\frac{2\pi}{n}}$ est la racine primitive
• $\omega_k = (\omega_1)^k$
• $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$

Racines n-ièmes d'un complexe $Z = Re^{i\Phi}$

Pour résoudre $z^n = Z$ :

1. Poser $z = re^{i\theta}$
2. Modules : $r^n = R \implies r = \sqrt[n]{R}$
3. Arguments : $n\theta = \Phi + 2k\pi \implies \theta_k = \dfrac{\Phi}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}$
4. On obtient $n$ solutions pour $k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$

Exemple : racines carrées de $i$

$i = e^{i\frac{\pi}{2}}$, donc $z = e^{i\frac{\pi}{4}}$ ou $z = e^{i\frac{5\pi}{4}}$, soit $z = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ ou $z = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$.