Introduction et Fondements de l'Ensemble C

Introduction et Fondements de $\mathbb{C}$

Motivation

L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes a été conçu pour résoudre des équations impossibles dans $\mathbb{R}$, comme $x^2 + 1 = 0$.

Unité imaginaire

L'ensemble $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$ et possède un élément $i$ tel que :

$$i^2 = -1$$

Forme algébrique

Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$$z = a + ib, \quad (a, b) \in \mathbb{R}^2$$

• $a = \text{Re}(z)$ : partie réelle
• $b = \text{Im}(z)$ : partie imaginaire

Condition d'égalité

$$a + ib = a' + ib' \iff \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}$$

Opérations fondamentales

Addition :

$$(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')$$

Multiplication :

$$(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + ba')$$

Cas particuliers

• $z$ est réel si $\text{Im}(z) = 0$
• $z$ est imaginaire pur si $\text{Re}(z) = 0$