Forme Trigonométrique et Notation Exponentielle

Forme Trigonométrique et Exponentielle

Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit :

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

Notation exponentielle (formule d'Euler)

Pour tout réel $\theta$ :

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

D'où la forme exponentielle : $z = r\,e^{i\theta}$

Méthode : passage algébrique → exponentielle

Pour $z = 3 - 3i$ :

1. Module : $r = |z| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$
2. Argument : $\cos\theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. Donc $\theta = -\frac{\pi}{4}$
4. Résultat : $z = 3\sqrt{2}\,e^{-i\frac{\pi}{4}}$

Formule de Moivre

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\theta \in \mathbb{R}$ :

$$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \iff (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

Formules d'Euler

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

Propriétés de l'exponentielle complexe

• $e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$
• $\dfrac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}}$
• Relation d'Euler : $e^{i\pi} = -1$, soit $e^{i\pi} + 1 = 0$