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Équations du Second Degré dans C
Les Nombres Complexes
Équations Polynomiales dans $\mathbb{C}$
Résolution de $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$
On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
| Cas | Solutions |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | $z_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $z_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ (réelles) |
| $\Delta = 0$ | $z_0 = -\dfrac{b}{2a}$ (réelle double) |
| $\Delta < 0$ | $z_1 = \dfrac{-b - i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$, $z_2 = \dfrac{-b + i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ (complexes conjuguées) |
Exemple
Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$ :
- $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$
- $z_1 = \dfrac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ et $z_2 = \dfrac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$
Les solutions sont complexes conjuguées.
Théorème fondamental de l'algèbre
Tout polynôme non constant de degré $n$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (comptées avec multiplicité).
Factorisation
Si $z_0$ est racine de $P(z)$, alors :
$$P(z) = (z - z_0)\,Q(z), \quad \deg(Q) = \deg(P) - 1$$
Propriété des racines conjuguées
Si $P$ est à coefficients réels et $z_0$ est racine de $P$, alors $\bar{z}_0$ est aussi racine de $P$.